Quadrato in un campo finito
sia $GF(q)$ un campo finito di ordine $q$ e $m\in\mathbb{N}$. Dovrei dimostrare che $(-1)^{m}$ è un quadrato in $GF(q)$ se e solo se $q^{m}\equiv 1\mod 4$..qualcuno riesce ad aiutarmi??
Risposte
Non e' vero per $q$ una potenza di $2$.
Se $q$ e' dispari invece, si.
Ci sono due casi:
$m$ pari: poiche' $(-1)^m=1$ e' sempre un quadrato, va dimostrato
che si ha sempre che $q^m\equiv 1$ mod $4$. Questo segue dal fatto
che ogni quadrato dispari e' congruo ad $1$ modulo $4$.
$m$ dispari: poiche' $(-1)^m=-1$ e $q^m\equiv q$ mod $4$, va dimostrato
che $-1\in GF(q)$ e' un quadrato se e solo se $q\equiv 1$ mod $4$.
Questo segue dal fatto che una radice quadrata di $-1$ e' un elemento di
ordine $4$ nel gruppo moltiplicativo $GF(q)^{\times}$. Poiche' $GF(q)^{\times}$ e' ciclico,
un tale elemento esiste se e solo se $4$ divide l'ordine $q-1=|GF(q)^{\times}|$.
Se $q$ e' dispari invece, si.
Ci sono due casi:
$m$ pari: poiche' $(-1)^m=1$ e' sempre un quadrato, va dimostrato
che si ha sempre che $q^m\equiv 1$ mod $4$. Questo segue dal fatto
che ogni quadrato dispari e' congruo ad $1$ modulo $4$.
$m$ dispari: poiche' $(-1)^m=-1$ e $q^m\equiv q$ mod $4$, va dimostrato
che $-1\in GF(q)$ e' un quadrato se e solo se $q\equiv 1$ mod $4$.
Questo segue dal fatto che una radice quadrata di $-1$ e' un elemento di
ordine $4$ nel gruppo moltiplicativo $GF(q)^{\times}$. Poiche' $GF(q)^{\times}$ e' ciclico,
un tale elemento esiste se e solo se $4$ divide l'ordine $q-1=|GF(q)^{\times}|$.
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