Quadrati perfetti

[ZetaFunction1]

Faccio un ultimo tentativo: se $x, y$ sono dispari, provare che $x^2+y^2$ non può essere un quadrato perfetto.

[ettore_galli]

Non ho in mano la risposta; sei sicuro che la dimostrazione esista?

Alcune considerazioni in ordine sparso...

Siano $p$ e $q$ due numeri pari; La somma dei quadrati di due numeri dispari può essere scritta come:

$(p+1)^2 + (q+1)^2$

Sviluppando i due binomi ottengo:

$p^2 + q^2 + 2*p + 2*q + 2$

A questo punto possiamo mettere "sul piatto" alcune considerazioni varie, che spero possano aiutare
1) L'espressione è la somma di addendi tutti pari, e pertanto è certamente un numero pari
2) L'espressione, così com'è scritta, non è riconducibile al quadrato di un binomio anche se questo non ha valore di dimostrazione di per sé.

io non sono fresco di studi e non ho mai affrontato la matematica discreta; da questo punto di partenza ci sono altri teoremi a cui ci si può "aggrappare"?

Spero di essere stato in un qualche modo utile e muoio dalla curiosità di vedere la risposta...

P.S. In rete ho trovato poco o niente, un link interessante è http://utenti.quipo.it/base5/pitagora/ternepit.htm

[ZetaFunction1]

E' l'esercizio di un libro (comunque i dispari sono della forma $2p+1$). Grazie per il contributo .

[Studente Anonimo]

Mi sembra che basti ridurre modulo 4.

[dan952]

Abbiamo visto che $ p^2+q^2+2p+2q+2 $ e' pari di conseguenza se fosse un quadrato perfetto allora sarebbe divisile per$ 4$ , tuttavia cio' non e' vero infatti tutti i termini dell'espressione di prima sono divisibili per $ 4 $ tranne $2$

[Zero87]

"dan95":Abbiamo visto che $ p^2+q^2+2p+2q+2 $ e' pari di conseguenza se fosse un quadrato perfetto allora sarebbe divisile per$ 4$ , tuttavia cio' non e' vero infatti tutti i termini dell'espressione di prima sono divisibili per $ 4 $ tranne $2$

Ottimo, se proprio vogliamo mettere i puntini sulle "i" - una volta che so qualcosa, la scrivo! (fino ad ora nei quesiti di Zeta_Function, ho mostrato solo la mia ignoranza!) - se contiamo $2k+1$ e $2h+1$ come numeri dispari, in cui $k,h$ sono interi positivi, abbiamo

$(2h+1)^2+(2k+1)^2= 4h^2+4h+1+4k^2+4k+1= 4(h^2+h+k^2+k)+2$

modulo 4, il tutto è congruo a $2$!

[ZetaFunction1]

Grazie per i contributi, nel frattempo ci ho pensato ed in effetti la soluzione è dimostrare che è divisibile per 2 ma non per 4.