$q^2-p^2$

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anto_zoolander

18 lug 2016, 20:22

Sia $p$ un numero positivo dispari e $q$ il numero dispari successivo. Si ha:

A: $q^2-p^2$ è divisibile per 16 e può non essere divisibile 32
B: $q^2-p^2$ è divisibile per 4 e può non può essere divisibile per 8
C: $q^2-p^2$ è divisibile per 8 e può non essere divisibile per 16
D: $q^2-p^2$ può essere dispari
E: $q^2-p^2$ è divisibile per 2 e può non essere divisibile per 4

considerando che dato un dispari, il dispari successivo si ottiene aggiungendo due:

$q=p+2$ allora $q^2-p^2=(q-p)(q+p)=4(p+1)$

il numero $p+1$ è ovviamente un numero pari, dunque non può essere dispari.Inoltre essendo pari, posso raccogliere un fattore $2$ ottenendo

$8((p+1)/2)$

B. è falsa poichè è sempre divisibile sia per $4$ che per $8$
E. è falsa poichè è sempre divisibile sia per $2$ che per $4$
D. è falsa poichè è sempre un numero pari

la A. è falsa poichè se $(p+1)$ non è un multiplo di $4$ allora $4(p+1)$ non è divisibile per per $16$.

la C. è dunque vera, ma lo è perchè ogni numero è divisibile per $8$ poichè $(p+1)/2$ è un intero, ma come si è visto può non essere divisibile per $16$.

è correct?