Q x Q

[Mattone2]

Su $\QQ x \QQ \setminus {(1,0)}$ si definisca una relazione $S$ ponendo $(x_1,y_1)S(x_2,y_2)$ se e solo se $y_1x_2-y_1+y_2-x_1y_2 = 0$. Decidere se $S$ è una relazione di equivalenza. Motivare la risposta
Grazie

[euler]

quella è una relazione di equivalenza infatti verifica le proprietà riflessiva,simmetrica e transitiva....avevi provato a verificale??

[Mattone2]

sì, ma non ne riesco a dimostrarne la transitività.

[euler]

per dimostrare la transitività puoi fare così:sai che è $(x_1,y_1)S(x_2,y_2)$ se e solo se $y_1x_2-y_1+y_2-x_1y_2=0$e sai che è $(x_2,y_2)S(x_3,y_3)$ se e solo se $y_2x_3-y_2+y_3-x_2y_3=0$ ora ricavi $y_1$ dalla prima equazione e $y_3$ dalla seconda,e sostituisci i valori trovati nella equazione che dovrebbe verificare la transitività,cioè $y_1x_3-y_1+y_3-x_1y_3=0$ ....(scusa se non mi sono fatto capire)

[Mattone2]

non mi sembra si vada molto lontano così

[Sk_Anonymous]

La transitivita' puo' essere agevolmente dimostrata al modo che segue.
Sia $(x_1,y_1)S(x_2,y_2)$ ovvero (per le ipotesi fatte) :
(1) $ (y_1)/(y_2)=(x_1-1)/(x_2-1)$
Analogamente sia $(x_2,y_2)S(x_3,y_3)$ e cioe':
(2) $ (y_2)/(y_3)=(x_2-1)/(x_3-1)$
Moltiplicando (1) e (2) si ha:
$ (y_1)/(y_3)=(x_1-1)/(x_3-1)$ da cui
$y_1x_3-y_1+y_3-x_1y_3=0$
e cio' prova che $(x_1,y_1)S(x_3,y_3)$
karl

[Mattone2]

sì, fila. Grazie