Q-algebre

[magicavale1]

nell'anello M_2(Q) si consideri la seguente matrice A:$((-4,-4),(9,8))$
si consideri inoltre il seguente omomorfismo di Q-algebre s: Q[x]--> M_2(Q) tale x-->A
come si calcola la Q-dimensione della sottoalgebra Im s=Q[A]

[Pappappero1]

Non sono sicuro della risposta che sto per dare...ma considerando che $M_2(\mathbb{Q})$ ha dimensione $4$, ti basta calcolare le immagini delle prime $4$ potenze di $x$ (partendo dalla zeresima) e vedere le loro relazioni lineari. Potenze successive dovrebbero avere più o meno le stesse relazioni...però forse c'è da sistemare qualcosa

[Stickelberger]

Sia $A$ una matrice quadrata. Se scriviamo $f$ per il suo polinomio
caratteristico, allora Cayley-Hamilton implica che $f(A)=0$.

Per matrici $2\times 2$ ci sono quindi due possibilita’: se $A$ non e’ scalare, la
$QQ$-algebra $QQ[A]$ e’ isomorfa a $QQ[X]$/$(f)$ ed ha dimensione $2$. Se invece $A$ e’
scalare, l’algebra $QQ[A]$ e’ semplicemente uguale a $QQ$.