Provare per induzione n!<n^n

[stefanosileo4231]

Ciao ragazzi, sto cercando di risolvere questo esercizio :
Sapendo che n! = n (n−1) (n−2)· · · 3 2 1, provare che n! < n^n dove n è un intero più grande di 1.

Ho effettuato il caso base e la proprietà risulta verificata per 2, il problema è che non so come procedere per :
P(n) -> P(n+1)
P(n) è verificata per ipotesi, quindi ho sviluppato il tutto in questo modo:

n * (n-1) * (n-2) * ... * 3 * 2 * 1 < n^n -> (n+1) * n * (n-1) * (n-2) * ... * 3 * 2 * 1 < n+1 ^ n+1

Il problema è che ora non so come risolvere la parte "destra" dell'implicazione.

Grazie mille in anticipo per l'aiuto.

[killing_buddha]

$(n+1)! = (n+1)n! < (n+1)n^n \le (n+1)^n(n+1) = (n+1)^{n+1}$ perché $n^n \le (n+1)^n = n^n + \text{altra roba positiva}$.