Provare che un elemento è invertibile
Ciao a tutti, stavo guardando gli esercizi svolti del mio libro ma non mi ritrovo su un passaggio.
Ci troviamo nell'anello quoziente $K[x]$ quozientato $(f(x)) $, dove $K = Z_3$ e $f(x) = x^4+x^3+x^2-1$.
Mi chiede di provare che $x^2+1$ è invertibile. [ho precedentemente dimostrato che ci troviamo in un dominio, dunque niente divisori dello zero che danno fastidio.]
La risoluzione dice: per provare che $x^2+x+(f)$ è invertibile, dividiamo $f(x)$ per $x^2+1$ con l'algoritmo di Euclide e otteniamo $ 1 \equiv (x^2+1)(-1+(x-1)(x^2+x)) \mod (f)$.
Ora io facendo la divisione euclidea ottengo come quoziente $x^2$ e come resto $x^3-1$. Come hanno fatto a trovare quell'equivalenza?
Ci troviamo nell'anello quoziente $K[x]$ quozientato $(f(x)) $, dove $K = Z_3$ e $f(x) = x^4+x^3+x^2-1$.
Mi chiede di provare che $x^2+1$ è invertibile. [ho precedentemente dimostrato che ci troviamo in un dominio, dunque niente divisori dello zero che danno fastidio.]
La risoluzione dice: per provare che $x^2+x+(f)$ è invertibile, dividiamo $f(x)$ per $x^2+1$ con l'algoritmo di Euclide e otteniamo $ 1 \equiv (x^2+1)(-1+(x-1)(x^2+x)) \mod (f)$.
Ora io facendo la divisione euclidea ottengo come quoziente $x^2$ e come resto $x^3-1$. Come hanno fatto a trovare quell'equivalenza?
Risposte
Ciao 
$( x^4+x^3+x^2-1, x^2 + 1) = 1 $ e sia $g = x^2 + 1$, per il lemma di bezout esistono $h, k \in \mathbb{Z_3[x]}$ tali che $f*h + (x^2+1)*k = 1$, attraverso l'algoritmo di Euclide trovi, ad esempio, $h = 2x - 2$ e $k = ((x^2+x)(x-1) -1)$, dunque hai che
$f*h + (x^2 + 1)((x^2+x)(x-1) -1) = 1$, se la vedi modulo $f$(e quindi vedi l'uguaglianza nel quoziente $Z_3[x]//(f(x))$),allora arrivi alla conclusione che $(x^2 + 1)((x^2+x)(x-1) -1) = 1$. $f*h$ scompare perché appartiene all'ideale di $f$(che nel quoziente è zero), $g*k$ invece non appartiene all'ideale di $f$ e di conseguenza non "scompaiono"
.
Ad ogni modo il resto della divisione non può essere $x^3 + 1$ perché o il resto è nullo o il grado del resto deve essere strettamente minore di quello del divisore.
Ps: puoi postare la dimostrazione del fatto che $Z_3[x]//(f(x))$ è un dominio?
$( x^4+x^3+x^2-1, x^2 + 1) = 1 $ e sia $g = x^2 + 1$, per il lemma di bezout esistono $h, k \in \mathbb{Z_3[x]}$ tali che $f*h + (x^2+1)*k = 1$, attraverso l'algoritmo di Euclide trovi, ad esempio, $h = 2x - 2$ e $k = ((x^2+x)(x-1) -1)$, dunque hai che
$f*h + (x^2 + 1)((x^2+x)(x-1) -1) = 1$, se la vedi modulo $f$(e quindi vedi l'uguaglianza nel quoziente $Z_3[x]//(f(x))$),allora arrivi alla conclusione che $(x^2 + 1)((x^2+x)(x-1) -1) = 1$. $f*h$ scompare perché appartiene all'ideale di $f$(che nel quoziente è zero), $g*k$ invece non appartiene all'ideale di $f$ e di conseguenza non "scompaiono"
.Ad ogni modo il resto della divisione non può essere $x^3 + 1$ perché o il resto è nullo o il grado del resto deve essere strettamente minore di quello del divisore.
Ps: puoi postare la dimostrazione del fatto che $Z_3[x]//(f(x))$ è un dominio?
Mi dispiace, ma non riesco proprio ad usare l'algoritmo di Euclide in questo caso, mi viene sempre il resto più grande del quoziente, eppure di solito mi funziona tranquillamente. E quindi rimango bloccata anche con le tue spiegazioni. Il 2x-2 non lo riesco proprio a trovare.
La dimostrazione che non è un dominio, dici? Ho trovato che f(x) si fattorizza in $Z_3$, dunque non è irriducibile, quindi l'ideale generato non è primo, quindi non è un dominio.
La dimostrazione che non è un dominio, dici? Ho trovato che f(x) si fattorizza in $Z_3$, dunque non è irriducibile, quindi l'ideale generato non è primo, quindi non è un dominio.
Ciao, la seguente divisione:
ti torna?
Se sì, adesso dividiamo $x^2 + 1$ per $-x-1$: $x^2 + 1 = (-x-1)*(-x + 1) + 2$, quindi ho:
$x^4 + x^3 + x^2 - 1 = (x^2 + 1)*(x^2 + x) - x - 1$ e $x^2 + 1 = (-x-1)*(-x + 1) + 2$, ovvero $-(-x-1)*(1-x) - (x^2 + 1) = + 2 \iff -2(-x-1)(1-x) - 2(x^2 + 1) = 1$, ho moltiplicato tutto per $2$, così ottengo $1$ a destra.
Dalla prima divisione sappiamo che: $-x-1 = (x^4 + x^3 + x^2 - 1) - (x^2 - 1)*(x^2 + x)$, sostituendo nell'ultima ho:
$-2(1-x)*((x^4 + x^3 + x^2 - 1) - (x^2 - 1)*(x^2 + x + 2)) - (x^2 - 1) = + 1$ ovvero $(2x - 2)(x^4 + x^3 + x^2 - 1) +(2 -2x)(x^2 - 1)*(x^2 + x ) - (x^2 + 1) = 1 \iff (2x-2)(x^4 + x^3 + x^2 - 1) + (x^2 - 1)(-2(x-1)*(x^2 + x) - 1) = 1 \iff (2x-2)(x^4 + x^3 + x^2 - 1) + (x^2 - 1)((x-1)*(x^2 + x) - 1) = 1$, nota che $-2 \equiv 1 mod 3$.
Ti torna tutto?
ti torna?
Se sì, adesso dividiamo $x^2 + 1$ per $-x-1$: $x^2 + 1 = (-x-1)*(-x + 1) + 2$, quindi ho:
$x^4 + x^3 + x^2 - 1 = (x^2 + 1)*(x^2 + x) - x - 1$ e $x^2 + 1 = (-x-1)*(-x + 1) + 2$, ovvero $-(-x-1)*(1-x) - (x^2 + 1) = + 2 \iff -2(-x-1)(1-x) - 2(x^2 + 1) = 1$, ho moltiplicato tutto per $2$, così ottengo $1$ a destra.
Dalla prima divisione sappiamo che: $-x-1 = (x^4 + x^3 + x^2 - 1) - (x^2 - 1)*(x^2 + x)$, sostituendo nell'ultima ho:
$-2(1-x)*((x^4 + x^3 + x^2 - 1) - (x^2 - 1)*(x^2 + x + 2)) - (x^2 - 1) = + 1$ ovvero $(2x - 2)(x^4 + x^3 + x^2 - 1) +(2 -2x)(x^2 - 1)*(x^2 + x ) - (x^2 + 1) = 1 \iff (2x-2)(x^4 + x^3 + x^2 - 1) + (x^2 - 1)(-2(x-1)*(x^2 + x) - 1) = 1 \iff (2x-2)(x^4 + x^3 + x^2 - 1) + (x^2 - 1)((x-1)*(x^2 + x) - 1) = 1$, nota che $-2 \equiv 1 mod 3$.
Ti torna tutto?
Ti ringrazio molto. Finalmente ho capito e l'esercizio mi torna tutto.
Sei stato gentilissimo.
Sei stato gentilissimo.
Di nulla 
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