Provare che, per ogni numero naturale $n≥0$, risulta $3^(n+1)≥n^2$

[giupar93]

Provare che, per ogni numero naturale n≥0, risulta $3^(n+1)≥n^2$
Ragazzi non saprei neanche da dove iniziare a risolvere questo tipo di esercizi. Qualcuno può aiutarmi? Grazie

[kobeilprofeta]

Certo. Usa l'induzione. In pratica fai vedere che vale per n=0, poi fai vedere che se vale per n, allora vale per n+1... Quindi vale per ogni n>=0

[giupar93]

xD GRAZIE per la risposta velocissima.. ma potresti spiegarmi come si fa con l'induzione?

Cioè io mi sono fermato a dire che:
per $n=0$
$3^1>=0^2$ e ora? xD

[kobeilprofeta]

Nello specifico
n=0: $3^1>=0$ ok, verificata.
Ora ipotizzo che valga $3^{n+1}>=n^2$ e dimostro che allora deve valere anche $3^{(n+1)+1}>=(n+1)^2$.
In questo modo concludo che vale $AA n$.
allora, ho $3^{n+1}>=n^2$. Moltiplico per 3 entrambi i membri e ottengo $3^{(n+1)+1}>=2n^2+n^2$
ora sommo e sottraggo 2n+1. $3^{(n+1)+1}>=(n^2+2n+1)+(2n^2-2n-1)=(n+1)^2+(2n^2-2n-1)$... ora basta dimostrare che $(n+1)^2+(2n^2-2n-1)>(n+1)^2$ e si conclude.

È abbastanza chiaro?

[kobeilprofeta]

Per completare:
Debbo far vedere che $2n^2-2n-1>=0 AA n>1$.
$f(x)=2x^2-2x-1$. $f'(x)=4x-2$ $f'(x)>0 <=> 4x>2 <=> x>1/2$.
Dunque $2n^2-2n-1$ cresce $AA n>0$, verifico per n=2: ho $2*2^2-2*2-1=3$.
Siamo quindi a posto per ogni n>1... Per zero abbiamo già verificato, verifichiamo per n=1 e siamo a posto.
$3^{1+1}>=1^2$... ok

Dimmi se si è capito.