Proprietà operazioni polinomi

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Non ho mai affrontato un testo specifico di algebra e sono quindi della massima ignoranza in merito, ma sto leggendo l'appendice al Sernesi, Geometria 1, sull'argomento. Mi pare di capire che il prodotto e la somma tra due polinomi con coefficienti in un dominio -in cui quindi la moltiplicazione e l'addizione sono commutative- siano commutative e quindi che anche in un polinomio in $D[X_0,...,X_N]$ con $D$ dominio l'ordine con cui le $X_i$ e i coefficienti sono moltiplicati in ognuno dei monomi e l'ordine con cui i monomi sono sommati siano indifferenti, giusto? Allo stesso modo suppongo che valga anche la distributività della moltiplicazione rispetto all'addizione tra polinomi in $D[X_0,...,X_N]$...
Se si trattasse solo di coefficienti in $D$ dominio non avrei dubbio, ma la presenza delle indeterminate mi lascia un po' nell'incertezza perché non so se si comportino nelle operazioni automaticamente come gli elementi del dominio (o campo, se il polinomio ha coefficienti in un campo) da cui si prendono i coefficienti...
Grazie di cuore a tutti!!!

[Kashaman]

Ciao davide, penso che la questione sia più semplice se affrontata in questo modo.
Per una definizione più rigorosa di polinomio ti rimando qui
http://www.dm.uniba.it/~barile/Rete4/al ... ione10.pdf
Noi lavoriamo con l'identificazione standard di polinomio.
Cioè detto $A$ un anello, denoteremo $A[x]$ l'insieme dei polinomio a coeffcienti in $A$.
Supponiamo , che $A=K$ un campo. (o un dominio come tu richiedi, ma vale in generale anche se $A$ è un anello.)
Identificherò $a in K[x] , a=\sum_(i=0)^na_ix^i$ un polinomio e dirò che $deg(a)=n$.
Definiamo su $K[x]$ due operazioni.
una somma
$AA a,b in K[x]$ , $a= \sum_(i=0)^na_ix^i$ , $b=\sum_(i=0)^mb_ix^i$. supponiamo che $n>=m$
$+ : a+b= \sum_(i=0)^na_ix^i+\sum_(i=0)^mb_ix^i = \sum_(i=0)^n(a_i+b_i)x^i$
un prodotto
$* : ab= \sum_(i=0)^na_ix^i*\sum_(i=0)^mb_ix^i = \sum^(m+n)(\sum_(i+j=n)(a_ibj))x^(i+j)$ (controlla se ti trovi, vado un poco di fretta, forse c'è qualche errore.)
Si dimostra che con le operazioni sopra definite $K{x}$ è un anello, integro. Pertanto ha tutte le proprietà generali di un anello. In particolare su $K$ è un dominio d'integrità. E non è un campo.
Infatti i soli elementi invertibili sono gli elementi costanti diversi da zero.
Spero di non aver detto fesserie, se hai ancora dubbi, chiedi.

[DavideGenova1]

Tutto chiarissimo, adesso.
Mi sorge un dubbio di natura più generale: quando si parla di operazioni con indeterminate ed elementi di una data struttura algebrica \((A,\otimes)\) o \((A,\otimes,\diamond)\) -un esempio specifico per cui valgono sono appunto le moltiplicazioni tra fattori di un monomio di tipo $aX_0...X_N$ con $a\in A$-, valgono sempre per l'indeterminata le stesse proprietà delle operazioni $\otimes$ e $\diamond$, come distributività e commutatività, che valgono in quella data struttura algebrica per gli elementi di $A$?
$\aleph_1$ grazie! (devo aumentare la cardinalità... )

[Kashaman]

$2^(\aleph_1)$ può andar bene?
guarda non ti so dire, direi una cavolata. Anche perché formalmente non so cosa sia un monomio (ho reminiscenze da superiori),quindi non mi azzardo a risponderti

[DavideGenova1]

Per monomio intendevo un polinomio di forma $a\prod_{i=0}^{N}X_i^{d_i}$ con $d\in NN uu {0}$, $X_i$ indeterminata e $a$ elemento di un anello, ma anch'io eredito la definizione dall'algebra elementare "da superiori" (oltretutto ho fatto il classico e puoi immaginare che matematica avanzata conoscessi prima di cominciare ad interessarmi a questa scienza meravigliosa "per conto mio").
[EDIT: testo spostato: nuovo topic]
Era comunque solo un esempio, ma per la questione generale forse è meglio aprire un nuovo thread.
$\aleph_3$ grazie !!!

[Kashaman]

Rispondo qui per non andare OT nel topic nel forum generale.
Scrivere $(a_0,a_1,......,a_n)-=\sum_(i=0)^na_ix^i$
non è proprio un'uguaglianza. Vuol dire che scrivere un polinomio (in una indeterminata)
cosi $(a_0,a_1,...,a_n,...)$ oppure cosi $sum_(i=0)^na_ix^i$ è la stessa cosa. La $x$ prende il nome di indeterminata. E' tipo un segna posto.
in particolare si ha che
$(0,0,.....,0,...)-=0$
$(1,0,......,0,..)-=1$
$(0,1,0,.........)-=x$
$(0,0,1,0,......)-=x^2$ e cosi via....
allora per esempio, il polinomio $f(X)=1+3x-3x^2=(1,0,......,0,..)+3(0,1,0,.........)-3(0,0,1,0,......)$.
Per comprendere appieno a cosa servono le $x$ puoi notare che
$1,x,0,x^2,x^3,.....,x^n,...$ si comportano proprio come vettori in uno spazio vettoriale...
da qui forse si deduce anche che l'anello dei polinomi, se costruito su un campo $K$, può esser dotato di una struttura di spazio vettoriale non finitamente generato Come?
Con una somma (operazione interna)
$+ k[x] x k[x] -> k[x] , (a_n)_(n in NN)+(b_n)_(n in NN) -> (a_n+b_n)_(n in NN)$
un protto per scalare
$* : k[x] x K -> k[x] , \lambda in K : \lambda(a_n)_(n in NN)->(\lambda(a_n)_(n in NN))$.
Ma attenzione la struttura di anello e quella di spazio vettoriale è differente.
Quindi la scrittura (esempio)
$2*(3x)$ può avere due significati.
$2 in K , 3x in K[x] ->2*3x = 6x$(prodotto scalare per vettore) oppure(prodotto tra polinomi) $(2+0x... )* (0+3x..) = 2*0+2*3x+0x*0+0*3x=6x$ (non so se ho reso l'idea.).
......
Ora se ho capito bene, vuoi sapere se scritture del tipo $a^(i)b^jc^k........z^n$ (esponenti strettamente positivi)(monomi) hanno un qualche senso, e in particolare è possibile costruire qualche struttura su tale notazione.
Forse si.
Considera il normale prodotto tra monomi. Moltiplicando due monomi ottieni sempre un monomio. inolre il prodotto è commutativo e associativo... pertanto, penso che si possa denotare una qualche struttura su questo insieme formato da quelle lettere. un semigruppo forse?
Qualche altro esperto saprà risponderti meglio.

[DavideGenova1]

Wow, che risposta esauriente! Grazie di cuore!!!