Proprietà moltiplicativa grado polinomio

[thedarkhero]

La funzione grado che associa a ciascun polinomio il suo grado gode delle proprietà moltiplicativa e subadditiva.
La proprietà subadditiva assicura che $deg(f_1+f_2)<=max{deg(f_1),deg(f_2)}$ ma la proprietà moltiplicativa in cosa consiste?

[Rggb1]

Forse dirò una cretinata, ma non è semplicemente questo?

1. Il grado del prodotto di due polinomi è la somma dei gradi dei singoli polinomi
$deg(f_1*f_2)=deg(f_1)+deg(f_2)$

2. Il grado della composizione di due polinomi è il prodotto dei gradi dei singoli polinomi
$deg(f_1 \circ f_2)=deg(f_1)*deg(f_2)$

[Richard_Dedekind]

In realtà non mi risulta affatto.

Nell'anello \(A[x]\) dei polinomi in una indeterminata \(x\) a coefficienti in \(A\) se prendiamo \(f,g\in A[x]\) tali che \(\deg f = n,\deg g = m\) non è vero in generale che \(\deg (fg)=\deg(f)+\deg(g)\). Questa proprietà vale solamente nel caso in cui \(A\) sia un dominio d'integrità.

Per quanto riguarda la composizione dei polinomi, vale la stessa precisazione. Non è vero che il grado della composizione è il prodotto dei gradi se l'anello dei coefficienti non è un dominio.

[Rggb1]

"Richard_Dedekind":In realtà non mi risulta affatto.

Certo; hai fatto bene a precisare. Del resto l'ho messo in preambolo che forse dicevo una cretinata, viste le mie conoscenze di algebra.

"Richard_Dedekind":Questa proprietà vale solamente nel caso in cui \(A\) sia un dominio d'integrità.

Non è sufficiente sia un campo?

[dissonance]

Ma infatti quando si parla genericamente di "polinomi", senza specificare, di solito uno capisce che i coefficienti siano in un campo (@Rggb: ogni campo è in particolare un dominio di integrità). In questo caso sono vere tutte le proprietà che dice Rggb.

[thedarkhero]

Non avevo precisato che mi riferisco a polinomi a coefficienti in un campo

[Richard_Dedekind]

Abbiate pazienza per la mia puntigliosità!