Proprietà insieme complemento
Se A è contenuto in B, allora il complemento di B è contenuto nel complemento di A.
Questo teorema è facilmente dimostrabile, però manca la doppia implicazione. La prof. ha soltanto detto che non vale la doppia implicazione perchè "se x non appartiene ad A può appartenere a B". Però io non ho capito... qualcuno potrebbe spiegarmi?
Questo teorema è facilmente dimostrabile, però manca la doppia implicazione. La prof. ha soltanto detto che non vale la doppia implicazione perchè "se x non appartiene ad A può appartenere a B". Però io non ho capito... qualcuno potrebbe spiegarmi?
Risposte
benvenuto/a nel forum.
$A sube B$ significa che se $x in A$ allora $x in B$.
ma se $A sub B$, cioè "contenuto propriamente", vuol dire che esiste almeno un elemento di B che non appartiene ad A, cioè
$EE y in B | y notin A$, cioè, per definizione di insieme complementare, $y in barA ^^ y notin barB$, dunque il complementare di A non è contenuto nel complementare di B.
spero sia chiaro. ciao.
$A sube B$ significa che se $x in A$ allora $x in B$.
ma se $A sub B$, cioè "contenuto propriamente", vuol dire che esiste almeno un elemento di B che non appartiene ad A, cioè
$EE y in B | y notin A$, cioè, per definizione di insieme complementare, $y in barA ^^ y notin barB$, dunque il complementare di A non è contenuto nel complementare di B.
spero sia chiaro. ciao.
^Ti ringrazio, mi sembra però che tu abbia posto innanzitutto $A sub B$, come se questa fosse un'ipotesi, invece io voglio negare la doppia implicazione, cioè far vedere che partendo dall'ipotesi che che $barB sub barA$, allora non è detto che $A sub B$...
invece si è detto
se hai provato $ A \subseteq B \Rightarrow B^C \subseteq A^C $, poi partendo dall'ipotesi $ B^C \subseteq A^C $ usando quello che hai provato prima, ottieni $ A=A^C.^C \subseteq B^C.^C=B $
se hai provato $ A \subseteq B \Rightarrow B^C \subseteq A^C $, poi partendo dall'ipotesi $ B^C \subseteq A^C $ usando quello che hai provato prima, ottieni $ A=A^C.^C \subseteq B^C.^C=B $
Scusate sarà l'orario, sarò io troppo poco lucido o troppo poco intelligente, ma non capisco...
comunque a prescindere dalla dimostrazione, a me interesserebbe proprio vedere a livello pratico, graficamente magari, come sia possibile che, se il complemento di B è contenuto in quello di A, allora B possa non essere contenuto in A.
Ad esempio se scrivo
$B^C={2,3}$
$A^C={2,3,4}}$
succede che $B^C \subseteq A^C$
Posto l'insieme ambiente $X={2,3,4,5}$
Succede che $A={5}$ e $B={4,5}$ e che quindi $A \subseteq B$.
Cioè non riesco proprio a far capitare anche in questo modo nessun caso in cui partendo dall'ipotesi che il complemento di B è contenuto in quello di A, A non è contenuto in B.
comunque a prescindere dalla dimostrazione, a me interesserebbe proprio vedere a livello pratico, graficamente magari, come sia possibile che, se il complemento di B è contenuto in quello di A, allora B possa non essere contenuto in A.
Ad esempio se scrivo
$B^C={2,3}$
$A^C={2,3,4}}$
succede che $B^C \subseteq A^C$
Posto l'insieme ambiente $X={2,3,4,5}$
Succede che $A={5}$ e $B={4,5}$ e che quindi $A \subseteq B$.
Cioè non riesco proprio a far capitare anche in questo modo nessun caso in cui partendo dall'ipotesi che il complemento di B è contenuto in quello di A, A non è contenuto in B.
Ma veramente [tex]A^{C}\subseteq B^{C} \iff A \supseteq B[/tex].
"fallendaydreamer":Se tu ci riuscissi tutta la matematica crollerebbe miseramente. Perché è matematicamente impossibile che tu ci riesca.
Cioè non riesco proprio a far capitare anche in questo modo nessun caso in cui partendo dall'ipotesi che il complemento di B è contenuto in quello di A, A non è contenuto in B.
Quindi, meno male che non ci riesci
Ok quindi avevo ragione dall'inizio a dire di non capire la doppia implicazione, è semplicemente errato ciò che ha detto la professoressa, cioè che non vale la doppia implicazione perchè "se x non appartiene ad A può appartenere a B".
Quindi perchè non avete detto da subito che in effeti non potevo capire perchè vale la doppia implicazione? XD
Quindi perchè non avete detto da subito che in effeti non potevo capire perchè vale la doppia implicazione? XD
mi pare che tu abbia un tantino travisato i nostri suggerimenti.
se ti interessa una visualizzazione del problema, ti basta disegnare un insieme ambiente, un insieme B al suo interno ed un insieme A contenuto in B, e chiederti semplicemente quali insiemi sono il complementare di A ed il complementare di B.
per quanto riguarda la distinzione tra l'inclusione propria e l'inclusione in senso lato, basta tener conto che $A=B$ se e solo se valgono entrambe le inclusioni $A sube B$ e $B sube A$, per cui se vuoi trovare un controesempio devi necessariamente ricorrere all'inclusione propria.
se ti interessa una visualizzazione del problema, ti basta disegnare un insieme ambiente, un insieme B al suo interno ed un insieme A contenuto in B, e chiederti semplicemente quali insiemi sono il complementare di A ed il complementare di B.
per quanto riguarda la distinzione tra l'inclusione propria e l'inclusione in senso lato, basta tener conto che $A=B$ se e solo se valgono entrambe le inclusioni $A sube B$ e $B sube A$, per cui se vuoi trovare un controesempio devi necessariamente ricorrere all'inclusione propria.
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