Proprietà elementari di aritmetica in $ZZ$

[compa90]

Buonasera, siano $ x,y, c,m \in ZZ$ tali che a) $ x-y=cm$, voglio provare che b) $ y-x=(-c)m$

Procedo cosi
$ x-y=^1(-1)((-1)*(x-y))$
$\ \quad \ quad \ \ \ =^2(-1)((-1)*(x+(-y)))$
$\ \quad \ quad \ \ \ \=^3(-1)((-1)*((-y)+x))$
$\ \quad \ quad \ \ \ \=^4(-1)((-1)*(-y)+(-1)*x)$
$\ \quad \ quad \ \ \ \=^5(-1)(y-x)$
invece
$cm=^1(-c)(-m)$
$ \ quad \ \ =(-c)((-1)*m)$
$\ quad \ \ =^1(-c)(-1)m$
$\ quad \ \ =^6((-c)(-1))m$
$\ quad \ \ =^7(-1)(-c)m$

quindi combinando, si ha che $(-1)(y-x)=(-1)(-c)m$, poiché ogni elemento è regolare in $ZZ$ si ha che $y-x=(-c)m$

Vi chiedo se questo modo di procedere è formalmente corretto, poi, vi volevo chiedere
i) E' formalmente corretto portare il primo membro a destra e il secondo a sinistra, per poi ritrovarmi $ -(x-y)=-cm$, e concludere direttamente che $ -(x-y)=-cm <=> y-x=(-c)m$
ii) E' formalmente corretto moltiplicare ambo i membri per $-1$, per poi ritrovarmi $ -(x-y)=-cm$, e concludere direttamente che $ -(x-y)=-cm <=> y-x=(-c)m$.

$1) $ Proprietà della moltiplicazione in $ZZ$
$2) $ Definizione della sottrazione in $ZZ$
$3) $ Commutativita' dell'addizione in $ZZ$
$4) $ Distributività della moltiplicazione rispetto all'addizione in $ ZZ$
$5) $ Proprietà della moltiplicazione in $ZZ$
$6) $ Associativi del prodotto in $ZZ$
$7) $ Commutativita' del prodotto in $ZZ$

[megas_archon]

Questa dimostrazione è inutilmente goffa e ridondante (e che cos'è un elemento "regolare" di \(\mathbb Z\)?). Invece:
\[
\begin{align}
(-1)(y-x) &= (-1)y + (-1)(-x) \tag{$\times$ distribuisce su $+$}\\
&=-y + (-1)(-1)x \tag{definizione di $-y$ e $-x$}\\
&= -y +x \tag{$(-1)(-1)=1$}\\
&=x-y \tag{$+$ è commutativa}
\end{align}
\] Per un motivo simile, \((-1)cm = (-c)m = c(-m)\); allora, se \(x-y=cm\), si ha \(y-x=-cm\)

[compa90]

In $ (ZZ,\cdot)$, ogni elemento $a \in ZZ-{0}$ è regolare, se per definizione, $ \forall x,y in Z \ : ax=ay -> x=y $.
Quindi, se ho capito l'errore, dovevo specificare che $0$ non è regolare rispetto a $ \cdot$.

Il fatto che dici che inutilmente goffa hai ragione, ma come ho detto, ho ripreso da poco l'algebra, e vorrei motivare per bene tutti i passaggi anche se possono risultare inutili.

Invece, per le due domande che ho fatto, sono chiare ?

Ciao