Proprietà distributiva reticoli

[thedarkhero]

Un reticolo è un insieme $R$ dotato di due operazioni binarie $\wedge$ e $\vee$ che godono delle seguenti proprietà:
(commutativa) $a \wedge b = b \wedge a$ e $a \vee b = b \vee a$
(associativa) $a \wedge (b \wedge c) = (a \wedge b) \wedge c$ e $a \vee (b \vee c) = (a \vee b) \vee c$
(assorbimento) $a \vee (a \wedge b) = a$ e $a \wedge (a \vee b) = a$
Da queste segue una quarta proprietà:
(idempotenza) $a \wedge a = a$ e $a \vee a = a$

Un reticolo si dice distributivo se è un reticolo in cui vale la proprietà:
(distributiva) $a \wedge (b \vee c) = (a \wedge b) \vee (a \wedge c)$ e $a \vee (b \wedge c) = (a \vee b) \wedge (a \vee c)$

Come posso provare che le due proprietà distributive sono in realtà equivalenti tra loro?
Suppongo ad esempio che valga $a \wedge (b \vee c) = (a \wedge b) \vee (a \wedge c)$, voglio dimostrare che $a \vee (b \wedge c) = (a \vee b) \wedge (a \vee c)$.
Ho provato a pensare a qualche catena di uguaglianze ma non mi è venuto in mente nulla, devo per forza ricorrere a considerare le doppie disuguaglianze?

[megas_archon]

Una disuguaglianza è sempre vera, si deduce dalla proprietà universale dei sup: \((a\land b) \lor (a\land c) \le a \land (b\lor c)\). Dualmente, \(a\lor (b\land c) \le (a\lor b) \land (a\lor c)\) è sempre vera. il reticolo $R$ è distributivo se una delle disuguaglianze inverse vale (e allora vale anche l'altra).

Supponi che valga la distributività di \(\land\) su \(\lor\): allora è sufficiente mostrare che \((a\lor b) \land (a\lor c) \le a\lor (b\land c)\): in virtù di come l'ordine e le operazioni di reticolo si parlano, ora, quello che devi mostrare per mostrare quella disuguaglianza è che \(((a\lor b) \land (a\lor c)) \land (a\lor (b\land c)) = (a\lor b) \land (a\lor c)\). Del resto
\[\begin{align*}
((a\lor b) \land (a\lor c)) \land (a\lor (b\land c)) &= (a\lor b) \land ((a\lor c) \land (a\lor (b\land c))) \tag{$\land$-asc} \\
&=(a\lor b) \land \Big( \big((a\lor c)\land a\big) \lor \big((a\lor c)\land (b\land c)\big) \Big) \tag{$\land$-distr}\\
&=(a\lor b) \land \Big( a\lor \big((a\lor c)\land (b\land c)\big) \Big) \tag{abs}\\
&=(a\lor b) \land \big(a \lor ((a\land b\land c)\lor c)\big) \tag{$\land$-distr}\\
&= (a\lor b) \land \big(a \lor c)
\end{align*}
\] e ciò conclude. Che la distributività di \(\lor\) su \(\land\) implichi quella di \(\land\) su \(\lor\) si fa in modo del tutto duale.

[thedarkhero]

Per quanto riguarda le due disuguaglianze sempre vere è tutto chiaro.

Poi se non ho capito male tu hai supposto che valga la proprietà $(a \wedge b) \vee (a \wedge c) = a \wedge (y \vee z)$ e hai mostrato che vale $((a \vee b) \wedge (a \vee c)) \wedge (a \vee (b \wedge c)) = (a \vee b) \wedge (a \vee c)$.
Nel mostrare che vale quest'ultima disuguaglianza però mi sembra che tu abbia usato una volta la proprietà $(a \vee b) \wedge (a \vee c) = a \vee (b \wedge c)$, che è proprio quella che vogliamo dimostrare.

Sbaglio?

[megas_archon]

Dove?

[thedarkhero]

La seconda volta che usi $\wedge-"distr"$

[thedarkhero]

Ho provato a dimostrarlo direttamente con una catena di uguaglianze.
Suppongo che $x \vee (y \wedge z) = (x \vee y) \wedge (x \vee z)$ $AAx,y,z$, voglio dimostrare che $x \wedge (y \vee z) = (x \wedge y) \vee (x \wedge z)$ $AAx,y,z$.
Ho che $x \wedge (y \vee z) = (x \wedge (x \vee z)) \wedge (y \vee z) = (x \wedge (z \vee x)) \wedge (z \vee y) = $
$= x \wedge ((z \vee x) \wedge (z \vee y)) = x \wedge (z \vee (x \wedge y)) = x \wedge ((x \wedge y) \vee z) =$
$= (x \vee (x \wedge y)) \wedge ((x \wedge y) \vee z) = ((x \wedge y) \vee x) \wedge ((x \wedge y) \vee z) = (x \wedge y) \vee (x \wedge z)$.
L'implicazione inversa viene in modo duale.
Può andare?