Proprietà di compatibilità di una relazione.
Buonasera,
sto leggendo gli appunti della professoressa di algebra inerenti alla proprietà di compatibilità della relazione di equivalenza.
Al lezione ci fece osservare che da questa definizione è possibile costruire operazioni e strutture algebriche.
Non mi è molto chiara questa osservazione, cioè dalla definizione:
Una relazione di equivalenza $R$ in $S$ dicesi compatibile con una operazione binaria $beta$ in $S$, se l'essere $xRx_1$, $yRy_1$ implica $(xbetay)R(x_1betay_1)$
A parole ci dice che se prendiamo ordinatamente elementi in relazione, anche i loro composti sono in relazione.
Da quanto scritto, per definire la proprietà di compatibilità di una relazione, ho bisogno di un insieme e di un'operazione binaria interna in tale insieme, quindi ho già una struttura algebrica.
Allora qualcosa non mi torna
sto leggendo gli appunti della professoressa di algebra inerenti alla proprietà di compatibilità della relazione di equivalenza.
Al lezione ci fece osservare che da questa definizione è possibile costruire operazioni e strutture algebriche.
Non mi è molto chiara questa osservazione, cioè dalla definizione:
Una relazione di equivalenza $R$ in $S$ dicesi compatibile con una operazione binaria $beta$ in $S$, se l'essere $xRx_1$, $yRy_1$ implica $(xbetay)R(x_1betay_1)$
A parole ci dice che se prendiamo ordinatamente elementi in relazione, anche i loro composti sono in relazione.
Da quanto scritto, per definire la proprietà di compatibilità di una relazione, ho bisogno di un insieme e di un'operazione binaria interna in tale insieme, quindi ho già una struttura algebrica.
Allora qualcosa non mi torna
Risposte
La compatibilità (con un'operazione) non è una relazione, ma una proprietà di una relazione.
Ad esempio, in $ZZ$ la relazione d'ordine $<=$ è compatibile con la somma $+$.
Ad esempio, in $ZZ$ la relazione d'ordine $<=$ è compatibile con la somma $+$.
"gugo82":
La compatibilità (con un'operazione) non è una relazione, ma una proprietà di una relazione.
Ad esempio, in $ZZ$ la relazione d'ordine $<=$ è compatibile con la somma $+$.
Ciao gugo82, grazie di avermelo fatto notare, ho subito cambiato il titolo del topic.
Ma quindi per quanto riguarda il mio dubbio, mi potresti dare qualche indicazione a riguardo.
Non avendo seguito il tuo corso, non so se hai riportato bene quanto detto dal docente o meno.
Quindi, boh.
L'unica cosa che mi sento di dire è che la compatibilità di una relazione interna con un'operazione interna (già definita sullo stesso insieme) consente di giocare con le due strutture -quella algebrica e quella indotta dalla relazione- in maniera soddisfacente e di fare diverse cose (cosa di preciso dipende dal tipo di relazione).
Quindi, boh.
L'unica cosa che mi sento di dire è che la compatibilità di una relazione interna con un'operazione interna (già definita sullo stesso insieme) consente di giocare con le due strutture -quella algebrica e quella indotta dalla relazione- in maniera soddisfacente e di fare diverse cose (cosa di preciso dipende dal tipo di relazione).
"gugo82":
Non avendo seguito il tuo corso, non so se hai riportato bene quanto detto dal docente o meno.
Quindi, boh.
Garantisco... ho il video di tale affermazione
Voglio tener presente che questo concetto è stato precisato prima di dare la definizione di legge quoziente nell'insieme quoziente,forse la professoressa si riferiva a questa struttura.
Il punto è questo (se ho intuito che cosa tu stia chiedendo): le relazioni compatibili con le operazioni di una qualche struttura algebrica sono tutte e sole quelle che permettono di equipaggiare il quoziente con una struttura dello stesso tipo.
Ad esempio: sai che puoi quozientare un gruppo in modo sensato solo per un sottogruppo normale; e sai anche che i sottogruppi normali sono in corrispondenza uno-a-uno con le relazioni di equivalenza compatibili con l'operazione di gruppo. Dico che potresti anche fare il contrario: se \( \mathcal E \) è una relazione su un gruppo \( G \), e il quoziente \( G/{\mathcal E} \) ha una struttura di gruppo di modo che la proiezione canonica \( G\to G/{\mathcal E} \) sia omo, allora \( \mathcal E \) deve avere quella proprietà che chiami "essere compatibile con le operazioni" (perché?).
Ad esempio: sai che puoi quozientare un gruppo in modo sensato solo per un sottogruppo normale; e sai anche che i sottogruppi normali sono in corrispondenza uno-a-uno con le relazioni di equivalenza compatibili con l'operazione di gruppo. Dico che potresti anche fare il contrario: se \( \mathcal E \) è una relazione su un gruppo \( G \), e il quoziente \( G/{\mathcal E} \) ha una struttura di gruppo di modo che la proiezione canonica \( G\to G/{\mathcal E} \) sia omo, allora \( \mathcal E \) deve avere quella proprietà che chiami "essere compatibile con le operazioni" (perché?).
Ti si voleva dire: presa una relazione di equivalenza \(\varepsilon\) su un insieme \(X\), si vuole avere da un magma \((X, \ast)\) un magma \((X/\varepsilon, \tilde\ast)\) nel modo abbastanza naturale che \[\pi(a) \tilde\ast \pi(b) = \pi(a \ast b) \quad\text{per ogni } a, b \in X\] dove \(\pi\) è la proiezione sul quoziente di \(X\), l'insieme \(\pi(a)\) è la classe di equivalenza di \(a\). (In altre parole si vuole \(\pi\) un omomorfismo.)
La domanda è: si può fare questa cosa? Purtroppo in generale no. Serve la compatibilità di \(\ast\) rispetto a \(\varepsilon\), e per renderti conto di questo, immagina che non ci sia. Pensa di avere quattro oggetti \(a, b, c, d\) di \(X\) tali che \(a \varepsilon b\) e \(c \varepsilon d\), ma \((a \ast c) \rlap{\!\not}{\varepsilon} (b \ast d)\). E così hai \(\pi(a) \tilde\ast \pi(c) = \pi(b) \tilde\ast \pi(d)\), ma \(\pi(a \ast c) \neq \pi(b \ast d)\). Capisci che è irrealizzabile il fatto che \(\tilde\ast\) sia un'operazione, per come l'abbiamo posta all'inizio.
PS: Ho preso i magmi, visto che sono la cosa più basica. Poi puoi arricchire quanto vuoi le strutture (questi discorsi si fanno con i gruppi), ma il discorso vale lo stesso.
La domanda è: si può fare questa cosa? Purtroppo in generale no. Serve la compatibilità di \(\ast\) rispetto a \(\varepsilon\), e per renderti conto di questo, immagina che non ci sia. Pensa di avere quattro oggetti \(a, b, c, d\) di \(X\) tali che \(a \varepsilon b\) e \(c \varepsilon d\), ma \((a \ast c) \rlap{\!\not}{\varepsilon} (b \ast d)\). E così hai \(\pi(a) \tilde\ast \pi(c) = \pi(b) \tilde\ast \pi(d)\), ma \(\pi(a \ast c) \neq \pi(b \ast d)\). Capisci che è irrealizzabile il fatto che \(\tilde\ast\) sia un'operazione, per come l'abbiamo posta all'inizio.
PS: Ho preso i magmi, visto che sono la cosa più basica. Poi puoi arricchire quanto vuoi le strutture (questi discorsi si fanno con i gruppi), ma il discorso vale lo stesso.
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