Proprietà del triangolo di tartaglia

[simos93]

Dimostrare che nel triangolo di tartaglia il numero dei coefficienti dispari di una qualsiasi riga è una potenza di 2.

Queste sono le osservazioni che ho fatto fin ora:
Nella riga n ci sono n+1 numeri
La somma dei numeri nella riga n è $2^n$
Nelle righe $2^m-1$ ci sono solo numeri dispari
C'è un numero pari di numeri dispari in ogni riga.

[Stickelberger]

Sia $n\ge 1$ e sia $n=\sum_{n=1}^m \epsilon_i2^i$ la scrittura di $n$ in base $2$.
Si ha quindi che $\epsilon_i\in\{0,1\}$. La seguente identita' e' utile:

$(X+1)^n\equiv \prod_{i=1}^t (X^{2^i}+1)^{\varepsilon_i}$ modulo $2$.

Sia $S$ il sottoinsieme di indici $i\in\{1,2,\ldots,m\}$ con $\varepsilon_i=1$. Allora

$(X+1)^n\equiv \prod_{i\in S} (X^{2^i}+1)$ modulo $2$.

Se scriviamo $s$ per la cardinalita' di $S$, il polinomio $(X+1)^n$ e' quindi congruo modulo $2$ ad
una somma di $2^s$ monomi distinti. In altre parole, nella $n$-esima riga del triangolo di Tartaglia,
ci sono $2^s$ coefficienti binomiali dispari .