Proprietà del gcd

[Steven11]

Ciao a tutti, scusate se torno a scocciare dopo un solo giorno.
Ho trovato, girovagando per il forum, questa proprietà
$gcd(a,b)=gcd(a,b+am)$
Ho provato a mostrarlo con rigore, ma temo di aver esagerato (infatti sono arrivato a impiegare la discesa infinita) e la dimostrazione mi sembra corretta, poi semmai la posto.

Ritengo che ci sia un modo più semplice, tuttavia.
Se conoscete questo metodo, mi tornerebbe utile conoscerlo, quindi spero me lo possiate mostrare.
Grazie già da ora,
Stefano

[vl4dster]

Mostra che la parte sinistra dell'eq. divide la destra, e la destra divide la sinistra.
Il gcd e' positivo, dunque [...]

$(a,b) | a$ dunque $(a,b) | am$ per ogni intero $m$.
Ma $(a,b) | b$, e dunque $(a,b) | am+b$ dunque $(a,b)|(a, am+b)$.
$(a,b+am)|a$ dunque $(a,b+am)|am$, e anche $(a,b+am)|b+am$ dunque $(a,b+am)|b$
dunque $(a,b+am)|(a,b)$ dunque, dato che il gcd di due interi e' positivo, si ha la tesi.

ciao

[Steven11]

Va bene, ho capito.
Quindi di solito quando devo dimostrare l'uguaglianda tra due MCD la prassi è quella di mostrare che uno divide l'altro e viceversa?
Ti ringrazio per l'aiuto, ciao.
Stefano

[vl4dster]

"+Steven+":Va bene, ho capito.
Quindi di solito quando devo dimostrare l'uguaglianda tra due MCD la prassi è quella di mostrare che uno divide l'altro e viceversa?

Qui andrei molto piano. Secondo me bisogna sempre vedere cosa e'
piu' conveniente mostrare per il particolare problema che stiamo affrontando.

[Steven11]

D'accordo
Grazie ancora