Proprietà dei sottogruppi normali di un gruppo nilpotente
Avrei bisogno di aiuto per provare il seguente fatto.
Sia $G$ un gruppo nilpotente e $N$ un suo sottogruppo normale non banale. Vorrei allora provare che $[N,G]$ è un sottogruppo proprio di $N$.
Il mio tentativo:
Ho provato questo fatto.
Sia $H$ è un sottogruppo di $G$ e $N$ normale in $G$. Allora
$[H,G]
Come potrei usare questo fatto? dovrei considerare la serie centrale di $N$?
Sono un po' confusa, grazie dell'aiuto!
Sia $G$ un gruppo nilpotente e $N$ un suo sottogruppo normale non banale. Vorrei allora provare che $[N,G]$ è un sottogruppo proprio di $N$.
Il mio tentativo:
Ho provato questo fatto.
Sia $H$ è un sottogruppo di $G$ e $N$ normale in $G$. Allora
$[H,G]
Come potrei usare questo fatto? dovrei considerare la serie centrale di $N$?
Sono un po' confusa, grazie dell'aiuto!
Risposte
Ciao! Che $[N,G]$ sia sottogruppo di $N$ segue dal fatto che $N$ è normale. Se $[N,G]=N$ allora $N$ è contenuto in tutti i sottogruppi della serie centrale discendente...
Provo che $N$ è contenuto in ogni sottogruppo della serie centrale discendente per induzione.
Da $N \leq \gamma_{n-1}(G)$ segue $N=[N,G]\leq \gamma_n(G)=[\gamma_{n-1}(G),G]$
Se $N$ fosse contenuto in tutti i sottogruppi che formano la serie centrale discendente allora sarebbe anche contenuto nel sottogruppo banale visto che $G$ è risolubile e da qui l'assurdo.
Grazie tantissimo davvero per l'aiuto!!!
Da $N \leq \gamma_{n-1}(G)$ segue $N=[N,G]\leq \gamma_n(G)=[\gamma_{n-1}(G),G]$
Se $N$ fosse contenuto in tutti i sottogruppi che formano la serie centrale discendente allora sarebbe anche contenuto nel sottogruppo banale visto che $G$ è risolubile e da qui l'assurdo.
Grazie tantissimo davvero per l'aiuto!!!
Giusto, ma sostituisci "risolubile" con "nilpotente". Ciao 
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