Proprietà dei P.I.D.

[aram1]

Come posso dimostrare che nei domini ad ideali principali(PID) gli elementi primi(non invertibili e tali che se dividono ab allora dividono a oppure b) generano ideali massimali e viceversa?

[mistake89]

Puoi mostrare che $(x)$ è primo se e solo se $x$ è primo. E che in un $PID$ un ideale è primo se e solo se è massimale.

Ti metto la dimostrazione in spoiler, casomai volessi provarci tu, non è difficile:

Proviamo che $(x)$ è primo se e solo se $x$ è primo.

Dire che $(x)$ è primo, vuol dire per definizione che $ab in (x) \rArr a in (x) V b in (x)$, ma questo in virtù della divisibilità nell'anello implica che $x|a$ oppure $x|b$. c.v.d.

Proviamo ora che in un PID l'ideale $I$ è primo se e solo se è massimale.
Se $I$ è massimale, allora $A//I$ è un campo ed in particolare allora è un dominio integro e quindi $I$ è primo.
Viceversa
Supponiamo che $ I$ sia primo, sia $a \in A$ tale che $I= (a )$. Allora $ a ne 0$. Sia $ J$ un ideale di $A$ contenente $I$, sia $ b in A $ tale che $ J = ( b)$. Allora $a in (b )$, cioè esiste $ x in A$ tale che $a =xb$ . Quindi $a| bx$ , e dunque, essendo $ a $ primo, segue che $a| b$ oppure $a| x$ . Nel primo caso $b in (a )$ , dunque $I =(a)= (b)= J$. Nel secondo caso esiste $y in A$ tale che $x =ay$ . Allora $xby= x$, da cui, data l’integrità dell’anello $ A$, ed essendo $x ne 0$ ,segue che $by= 1$. Dunque $b$ è invertibile, per cui, si ha che $J= A$

[Key918]

Provo a lanciare un'altra idea: potresti anche provare che poichè un $P.I.D.$ è un UFD gli irriducibili sono elementi primi (e viceversa poichè un PID è un dominio d'integrità). Ma sempre in un P.I.D. $(x)$ è massimale se e solo se $x$ è irriducibile (con $x\ne0$). Ma se gli irriducibili coincidono con i primi segue quindi che $(x)$ è massimale se e solo se $x$ è primo.

[aram1]

@mistake89: della dimostrazione non mi è chiaro un punto: se $a=xb$ come può questo implicare $a|bx$? Io proseguirei, piuttosto, così: dato che $a\in (b)$ allora $\exists x\in A$ tale che $a=xb$ quindi, essendo un PID un dominio fattoriale, si ha che gli elementi primi coincidono con gli indecomponibili, per cui, essendo a indecomponibile, si ha che se $a=xb$ allora o $x$ è un unità dell'anello e $b$ un elemento associato ad $a$, oppure $b$ è un unità dell'anello e $x$ è un elemento associato ad $a$. Nel primo caso $(b)=(a)$ e nel secondo caso $(b)$ coincide col PID di partenza. Dunque concludo che $(a)$ è un ideale massimale, generato dall'elemento primo $a$. Può andare anche così in alternativa?

[mistake89]

$a$ divide $a$ banalmente, e quindi dividerà anche $bx$ perché è esso stesso uguale ad $a$.