Proprietà associativa - semigruppi - monoidi
Ho trovato un esercizio che nella sua "banalità" mi ha spiazzato..
Dato un insieme $ A $ e un'operazione sull'insieme $ * $, $ (A,*) $ è un semigruppo se l'operazione associata all'insieme gode della proprietà associativa ( $ grad a,b,cin A $ se $ a*(b*c)=(a*b)*c $ ); se l'insieme ammette per l'operazione * anche l'elemento neutro $ e $ (tale che $ grad ain A,EE ein A |a*e=e*a=a $ ) allora è un monoide.
L'esercizio mi chiede di verificare se l'insieme $ ({1,-1};*) $ è un monoide, facile. Come faccio a verificare se gode della proprietà associativa essendoci solo due elementi nell'insieme? $a*(b*a)=(a*b)*a$? Seguendo la definizione non dimostro nulla..
Dato un insieme $ A $ e un'operazione sull'insieme $ * $, $ (A,*) $ è un semigruppo se l'operazione associata all'insieme gode della proprietà associativa ( $ grad a,b,cin A $ se $ a*(b*c)=(a*b)*c $ ); se l'insieme ammette per l'operazione * anche l'elemento neutro $ e $ (tale che $ grad ain A,EE ein A |a*e=e*a=a $ ) allora è un monoide.
L'esercizio mi chiede di verificare se l'insieme $ ({1,-1};*) $ è un monoide, facile. Come faccio a verificare se gode della proprietà associativa essendoci solo due elementi nell'insieme? $a*(b*a)=(a*b)*a$? Seguendo la definizione non dimostro nulla..
Risposte
domanda di riserva (perchè è troppo piccola per meritare una sua sezione.. lol)
L'elemento neutro citato prima ($ e $), stando alla definizione, lo si trova soltanto quando l'operazione associata all'insieme è commutativa, giusto?
Se l'operazione non è commutativa allora non esiste elemento neutro?
L'elemento neutro citato prima ($ e $), stando alla definizione, lo si trova soltanto quando l'operazione associata all'insieme è commutativa, giusto?
Se l'operazione non è commutativa allora non esiste elemento neutro?
@mastodilu,
un monoide è una coppia \((A,\cdot)\), ove \( \cdot: (A \times A) \to A \), con:
- \(\forall x,y \in A ((x \cdot y) \in A)\)
- \( \forall x,y,z \in A (((x \cdot y) \cdot z)=((x \cdot (y \cdot z)))\)
- \(\exists e \in A( \forall x \in A((x \cdot e)=(e\cdot x)=x))\)
ora suppongo che \( \{1,-1\} \subseteq \Bbb{Z}\) e che \( \cdot\), in particolare, sia la moltiplicazione usuale in \( \Bbb{Z} \)... ti basta verificare quelle tre condizioni della definizione di monoide, nella 2a condizione non devi prendere per forza elementi diversi (per farti capire, puoi avere anche solo \(\{1\}\) è risulta ancora essere monoide rispetto ad \( \cdot\) ).
ps.=non capisco la domanda di riserva
un monoide è una coppia \((A,\cdot)\), ove \( \cdot: (A \times A) \to A \), con:
- \(\forall x,y \in A ((x \cdot y) \in A)\)
- \( \forall x,y,z \in A (((x \cdot y) \cdot z)=((x \cdot (y \cdot z)))\)
- \(\exists e \in A( \forall x \in A((x \cdot e)=(e\cdot x)=x))\)
ora suppongo che \( \{1,-1\} \subseteq \Bbb{Z}\) e che \( \cdot\), in particolare, sia la moltiplicazione usuale in \( \Bbb{Z} \)... ti basta verificare quelle tre condizioni della definizione di monoide, nella 2a condizione non devi prendere per forza elementi diversi (per farti capire, puoi avere anche solo \(\{1\}\) è risulta ancora essere monoide rispetto ad \( \cdot\) ).
ps.=non capisco la domanda di riserva
capito, grazie!
per quanto riguarda la domanda di riserva invece?
per quanto riguarda la domanda di riserva invece?
"mastodilu":Ich verstehe nicht die frage= Non capisco la domanda!!
per quanto riguarda la domanda di riserva invece?
nella definizione di elemento neutro compare anche la proprietà commutativa, quindi se l'operazione nel gruppo considerato non gode della proprietà commutativa (gruppo non abeliano) non può esistere l'elemento neutro?
@mastodilu,
"mastodilu":non vorrei sbagliare, forse confondi un po le cose.. dammi la definizione di elemento neutro
nella definizione di elemento neutro compare anche la proprietà commutativa
Se ho capito la domanda (la seconda): il monoide non richiede la condizione Abeliana. Un monoide può non essere abeliano, anzi, di solito non lo è.
Invece requisito necessario per la denominazione di Monoide è la proprietà associativa e il possesso di elemento neutro (il prodotto per l'elemento neutro è sempre commutativo però).
Invece requisito necessario per la denominazione di Monoide è la proprietà associativa e il possesso di elemento neutro (il prodotto per l'elemento neutro è sempre commutativo però).
"Frink":si esatto!!
Se ho capito la domanda (la seconda): il monoide non richiede la condizione Abeliana.
"Frink":ja, jenao!
Un monoide può non essere abeliano
"Frink":si ok, ma la condizione sull'elemento neutro \(e\) (nella definizione) non gode di certi principi di economia, ovvero è sovrabbondante.. si può dimostrare che:
Invece requisito necessario per la denominazione di Monoide è la proprietà associativa e il possesso di elemento neutro (il prodotto per l'elemento neutro è sempre commutativo però).
\[e \cdot x=x \Rightarrow x \cdot e=x \Rightarrow e \text{ ed }x \text{ sono permutabili }, \forall x \in A\]
ergo non ti conviene pensare come ad una commutativa perchè questa gode su due qualunque elementi di \(A \), cosa che non si ha nella definizione di elemento neutro!!!
Mi sa che ci stiamo confondendo a vicenda.. Per fare un esempio uso il generico gruppo G e la generica operazione % definita in G.
G è un monoide se:
- % è associativa
- esiste l'elemento neutro chiamato 'e' in G tale che: a % e = e % a = a.
a % e = e % a è la proprietà commutativa, giusto? Allora per provare l'esistenza dell'elemento neutro deve valere sempre e comunque che a % e ed e % a siano vere, quindi (G,%) è anello abeliano. Spero di non aver detto boiate...
G è un monoide se:
- % è associativa
- esiste l'elemento neutro chiamato 'e' in G tale che: a % e = e % a = a.
a % e = e % a è la proprietà commutativa, giusto? Allora per provare l'esistenza dell'elemento neutro deve valere sempre e comunque che a % e ed e % a siano vere, quindi (G,%) è anello abeliano. Spero di non aver detto boiate...
"garnak.olegovitc":
si ok, ma la condizione sull'elemento neutro \(e\) (nella definizione) non gode di certi principi di economia, ovvero è sovrabbondante.. si può dimostrare che: $$e \cdot x=x \Rightarrow e \text{ ed }x \text{ sono permutabili } \Rightarrow x \cdot e=x, \forall x \in A$$ ergo non ti conviene pensare come ad una commutativa perchè questa gode su due qualunque elementi di \(A \), cosa che non si ha nella definizione di elemento neutro!!!
Ah allora non devo vederla come una proprietà commutativa quella dell'elemento neutro? Nel senso che, a prescindere dalla proprietà commutativa del gruppo o meno, se a%e è diverso da e%a che è diverso da a allora non c'è elemento neutro, giusto?
"mastodilu":
a % e = e % a è la proprietà commutativa, giusto? Allora per provare l'esistenza dell'elemento neutro deve valere sempre e comunque che a % e ed e % a siano vere, quindi (G,%) è anello abeliano. Spero di non aver detto boiate...
Ecco, no. Il fatto che $a$ ed $e$ permutino non ti garantisce la commutatività, perché non sono due elementi qualsiasi. Nello specifico, solo $a$ è un elemento qualsiasi, ma $e$ è sempre l'elemento neutro.
Grazie per la correzione Garnak, a volte la prendo un po' leggera
"mastodilu":no!
- esiste l'elemento neutro chiamato 'e' in G tale che: a % e = e % a = a.
a % e = e % a è la proprietà commutativa, giusto?
e poi, sbaglio o si parlava di monoidi, perchè prendiamo i gruppi??!!
P.S.=Sarà il fuso orario, o il freddo boia della Germani del Sud.. forse ho confuso gli utenti...
pardon@kein problem Frink
Ciao!
credo di aver più o meno capito...
in parole povere: se $e*a != a*e$ e almeno uno tra i due è diverso da $a$ allora niente elemento neutro, giusto?
in parole povere: se $e*a != a*e$ e almeno uno tra i due è diverso da $a$ allora niente elemento neutro, giusto?
"garnak.olegovitc":
e poi, sbaglio o si parlava di monoidi, perchè prendiamo i gruppi??!!
@kein problem Frink
intendevo dire insieme, ho confuso i termini
"mastodilu":
credo di aver più o meno capito...
in parole povere: se $e*a != a*e$ e almeno uno tra i due è diverso da $a$ allora niente elemento neutro, giusto?
siano dati \( (A,\beta)\) ove \( \beta : A^2 \to A\), ed \( e \in A \), \(e \) è elemento neutro rispetto ad \( \beta\) se $$\forall x \in A( x \beta e =x \wedge e \beta x=x)$$ ora scrivere \( x \beta e = e \beta x=x\) è equivalente ad \(x \beta e =x \wedge e \beta x=x\) ergo affinchè \(e \) non sia elemento neutro rispetto ad \( \ \beta\) basta che $$\exists x \in A(x \beta e \neq x \vee e \beta x\neq x)$$ cioè che almeno una tra \(x \beta e \neq x\) ed \(e \ \beta x\neq x\) sia vera!! Spero sia chiaro adesso, perchè partire dal fatto se sono permutatibili o meno?!
Ciao!
ps=spero di non avere sbagliato qualche notazione, in caso contrario "se sbaglierò mi corrigerete"
scusate il ritardo.. grazie a tutti! 
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