Propr. commutativa dell' intersezione (teoria degli insiemi)
(Anche al costo di perderci molto tempo, ma devo capirle tutte).
Qualche giorno fa ho aperto un post sulla proprietà commutativa dell' unione tra due insiemi A e B. Oggi ci dedicheremo invece alla stessa proprietà, e cioè quella commutativa, ma per l' intersezione. In simboli:
$ A nn B = B nn A $
Ora mi chiedo: la procedura di risoluzione è simile a quella già spiegata in questa discussione? -> http://www.matematicamente.it/forum/dimostrazione-della-proprieta-commutativa-dell-unione-u-t100485.html.
Non avendo nessuno che me li abbia mai spiegate, sto trovando difficoltà a studiarle completamente da solo.
Qualche giorno fa ho aperto un post sulla proprietà commutativa dell' unione tra due insiemi A e B. Oggi ci dedicheremo invece alla stessa proprietà, e cioè quella commutativa, ma per l' intersezione. In simboli:
$ A nn B = B nn A $
Ora mi chiedo: la procedura di risoluzione è simile a quella già spiegata in questa discussione? -> http://www.matematicamente.it/forum/dimostrazione-della-proprieta-commutativa-dell-unione-u-t100485.html.
Non avendo nessuno che me li abbia mai spiegate, sto trovando difficoltà a studiarle completamente da solo.
Risposte
Hei ciao!
Guarda, pure io ne so poco di teoria degli insiemi, diciamo molto elementarmente XD
Comunque, in generale, devi dimostrare la doppia inclusione.
Molto intuitivamente io direi cosi. (il formalismo lo lascio a garnak visto che a quanto sembra è molto preparato in materia
)
Tu hai
$A nn B = { x | x in A ^^ x in B} $ e hai inoltre $B nn A = {x| x in A ^^ x in B}$
Devi mostrare che :
1)$A nn B sube B nn A$
2)$B nn A sube A nn B$
Dimostro la 1)
Sia $x in A nn B$
per definizione $ x in A ^^ x in B => x in B ^^ x in A => x in B nn A$
Ciò mostra re $A nn B sube B nn A$
dimostro la 2)
Sia $ x in B nn A$
per definizione
$ x in B ^^ x in A => x in A ^^ x in B => x in A nn B$ ciò mostra che $ B nn A sube A nn B$.
Quindi in conclusione, valgono le due inclusioni,
e ciò ti basta per dire che $A nn B = B nn A$.
Il mio modo è semplice, forse te cercavi qualcosa di più "formale". Ti faccio notare comunque che non è proprio fuori luogo.
Tutto ciò che ho scritto ha senso perché l'operatore $^^$ (qualcuno mi corregga) è commutativo.
Guarda, pure io ne so poco di teoria degli insiemi, diciamo molto elementarmente XD
Comunque, in generale, devi dimostrare la doppia inclusione.
Molto intuitivamente io direi cosi. (il formalismo lo lascio a garnak visto che a quanto sembra è molto preparato in materia
)Tu hai
$A nn B = { x | x in A ^^ x in B} $ e hai inoltre $B nn A = {x| x in A ^^ x in B}$
Devi mostrare che :
1)$A nn B sube B nn A$
2)$B nn A sube A nn B$
Dimostro la 1)
Sia $x in A nn B$
per definizione $ x in A ^^ x in B => x in B ^^ x in A => x in B nn A$
Ciò mostra re $A nn B sube B nn A$
dimostro la 2)
Sia $ x in B nn A$
per definizione
$ x in B ^^ x in A => x in A ^^ x in B => x in A nn B$ ciò mostra che $ B nn A sube A nn B$.
Quindi in conclusione, valgono le due inclusioni,
e ciò ti basta per dire che $A nn B = B nn A$.
Il mio modo è semplice, forse te cercavi qualcosa di più "formale". Ti faccio notare comunque che non è proprio fuori luogo.
Tutto ciò che ho scritto ha senso perché l'operatore $^^$ (qualcuno mi corregga) è commutativo.
Di fatto il tuo modo di spiegare è molto schematico, ergo più comprensibile a chi affronta per la prima volta l' argomento. L' unico mio dubbio è che nel vecchio post (il link si trova sopra alla prima discussione) l' utente garnak ha scritto che la disgiunzione logica (cioè questa -> $ vv $ ) è commutativa. Ora tu dici che anche la congiunzione logica è commutativa. L' unica cosa che ho trovato è questa frase presa da Wikipedia. Copio e incollo di seguito: [...] In effetti, la congiunzione gode delle stesse proprietà dell'intersezione.
Forse per questo sia la congiunzione che la disgiunzione logica seguono la stessa proprietà?! (il link è questo -> http://it.wikipedia.org/wiki/Congiunzione_logica e la frase si trova alla fine del primo periodo).
Ah dimenticavo, grazie della spiegazione
Forse per questo sia la congiunzione che la disgiunzione logica seguono la stessa proprietà?! (il link è questo -> http://it.wikipedia.org/wiki/Congiunzione_logica e la frase si trova alla fine del primo periodo).
Ah dimenticavo, grazie della spiegazione
Guarda vinx, di logica ne so poco XD comunque, penso che la commutatività puoi dimostrarla con le tabelle di verità.
Siano $A , B$ proposizioni , costruiamo la tabella di verità di $A ^^ B$.
$T =$ proposizione vera, $F$ per falsa.
$A$ $B$ $A^^B$
T T T
F V F
F V F
F F F
Allo stesso modo, invertendo $A$ con $B$ costruiamo la tabella per $B ^^A$, ed ironia della sorte otteniamo che
$B$ $A$ $B^^A$
T T T
F V F
F V F
F F F
Le tabelle costruite sono identiche.
Ciò ci permette di concludere che
$A^^B <=> B^^A$ (le due formule sono equivalenti)
Quindi, $^^$ commuta.
Bye!
Siano $A , B$ proposizioni , costruiamo la tabella di verità di $A ^^ B$.
$T =$ proposizione vera, $F$ per falsa.
$A$ $B$ $A^^B$
T T T
F V F
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F F F
Allo stesso modo, invertendo $A$ con $B$ costruiamo la tabella per $B ^^A$, ed ironia della sorte otteniamo che
$B$ $A$ $B^^A$
T T T
F V F
F V F
F F F
Le tabelle costruite sono identiche.
Ciò ci permette di concludere che
$A^^B <=> B^^A$ (le due formule sono equivalenti)
Quindi, $^^$ commuta.
Bye!
Grazie 
prego
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