Proposizioni sui reticoli
2) Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false, giustificando le risposte:
i) Se $(X, ≤)$ è un reticolo, esistono inf X e sup X;
ii) Se in $(X, ≤)$ esistono inf X e sup X, $X$ è un reticolo;
iii) Se $(X, ≤)$ è totalmente ordinato, $X$ è un reticolo;
iv) Se $(X, ≤)$ è un reticolo, $X$ è totalmente ordinato;
v) Se Ω è una relazione d’ordine in $P(S)$, $(P(S), Ω)$ è un reticolo;
vi) $(P(S), ⊆)$ è un reticolo;
vii) Se $(X, ≤)$ è un reticolo e $|X|= 3^2$, $X$ non è un reticolo booleano;
viii) Se $(X, ≤)$ è un reticolo e $|X|= 2^3$, $X$ è un reticolo booleano.
i) Vero, poichè un reticolo è un insieme parzialmente ordinato che ad ogni coppia associa un inf e sup
ii) Falso $(Z,<=)$ è totalmente ordinato, quindi è un reticolo ma non esiste nè minimo nè massimo. (però non sò se va bene)
iii)Vero, è giusto se dico se è totalmente ordinato , esiste estremo inferiore e superiore? (qualcuno può dirmi come giustificare la risposta)?
iv) Falso, (purtroppo presi gli appunti ma non scrissi il perchè, qualcuno può giustificare anche qui la risposta)
v) In questo caso dico no, perchè dipende dalla relazione no?
vi) Vero, presenta elemento minimo che è il ${O/}$ ed elemento massimo che è ${S}$, inoltre è un insieme finito quindi esiste max=sup e min=inf, inoltre è $P(S)$ è sempre complementato e sappiamo che se è complementato è limitato. E' giusto?
P.s:
avevo pensato anche a questo: "$(P(S), sube)$ è sempre complementato e poi è distributivo, quindi posso dire con certezza che è un reticolo?"
vii) e viii) non saprei come rispondere. Qualcuno può aiutarmi? Grazie.
i) Se $(X, ≤)$ è un reticolo, esistono inf X e sup X;
ii) Se in $(X, ≤)$ esistono inf X e sup X, $X$ è un reticolo;
iii) Se $(X, ≤)$ è totalmente ordinato, $X$ è un reticolo;
iv) Se $(X, ≤)$ è un reticolo, $X$ è totalmente ordinato;
v) Se Ω è una relazione d’ordine in $P(S)$, $(P(S), Ω)$ è un reticolo;
vi) $(P(S), ⊆)$ è un reticolo;
vii) Se $(X, ≤)$ è un reticolo e $|X|= 3^2$, $X$ non è un reticolo booleano;
viii) Se $(X, ≤)$ è un reticolo e $|X|= 2^3$, $X$ è un reticolo booleano.
i) Vero, poichè un reticolo è un insieme parzialmente ordinato che ad ogni coppia associa un inf e sup
ii) Falso $(Z,<=)$ è totalmente ordinato, quindi è un reticolo ma non esiste nè minimo nè massimo. (però non sò se va bene)
iii)Vero, è giusto se dico se è totalmente ordinato , esiste estremo inferiore e superiore? (qualcuno può dirmi come giustificare la risposta)?
iv) Falso, (purtroppo presi gli appunti ma non scrissi il perchè, qualcuno può giustificare anche qui la risposta)
v) In questo caso dico no, perchè dipende dalla relazione no?
vi) Vero, presenta elemento minimo che è il ${O/}$ ed elemento massimo che è ${S}$, inoltre è un insieme finito quindi esiste max=sup e min=inf, inoltre è $P(S)$ è sempre complementato e sappiamo che se è complementato è limitato. E' giusto?
P.s:
avevo pensato anche a questo: "$(P(S), sube)$ è sempre complementato e poi è distributivo, quindi posso dire con certezza che è un reticolo?"
vii) e viii) non saprei come rispondere. Qualcuno può aiutarmi? Grazie.
Risposte
Riguardo le ultime due , ho trovato le seguenti proposizione:
1) Se $(S,<)$ è un reticolo booleano FINITO allora esiste un insieme $X$, tale che, $(S,<)$ è isomorfo a $(P(X), sube)$.
2) Se $n in N^star$, $n$ è ordine di un reticolo booleano finito se, e solo se $n=2^k$. con $k > 0$.
Penso che la seconda potrebbe aiutarci a risolvere i quesiti vii e viii. Inoltre qualcuno può spiegarmi la proposizione 1?
1) Se $(S,<)$ è un reticolo booleano FINITO allora esiste un insieme $X$, tale che, $(S,<)$ è isomorfo a $(P(X), sube)$.
2) Se $n in N^star$, $n$ è ordine di un reticolo booleano finito se, e solo se $n=2^k$. con $k > 0$.
Penso che la seconda potrebbe aiutarci a risolvere i quesiti vii e viii. Inoltre qualcuno può spiegarmi la proposizione 1?
Hai fatto un po' di pasticci.
Sbagli. L'esempio che dai nella seconda risposta è un controesempio!
Non stai rispondendo a questa domanda. Comunque, è falso. Considera [tex]X = \{a,b,c,d,e,f\}[/tex] con relazione [tex]a = \min X[/tex], [tex]f = \max X[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] inconfrontabili, [tex]d[/tex] ed [tex]e[/tex] inconfrontabili, [tex]b < d[/tex], [tex]b < e[/tex], [tex]c < d[/tex], [tex]c < e[/tex] (ti invito a disegnare il diagramma di Hasse; non posso farlo perché non è installato il pacchetto xymatrix). Allora gli elementi [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] non hanno estremo superiore!
Prova a farlo tu. Inizia a ricordare le definizioni. Cosa vuol dire totalmente ordinato? Cosa sono gli estremi inferiore e superiore?
Beh, serve poca fantasia. I reticoli più interessanti sono quelli non totalmente ordinati. Ad esempio [tex]S = \{0,1,2\}[/tex], [tex]X = \mathcal P(S)[/tex] (l'insieme delle parti), ordinato rispetto all'inclusione insiemistica. Di sicuro non è un insieme totalmente ordinato ([tex]\{1\}[/tex] e [tex]\{0,2\}[/tex] non sono confrontabili).
Certamente. Ad esempio, [tex]X = \{a,b,c\}[/tex] con [tex]a < b[/tex], [tex]a < c[/tex] non è un reticolo.
Qui hai fatto veramente un po' di casino. Innanzi tutto, le parentesi graffe non ci vogliono. Sono [tex]\emptyset[/tex] ed [tex]S[/tex] ad essere il minimo ed il massimo del reticolo. La seconda frase è sbagliata. Prendendo come esempio quello che ti ho dato nella risposta iv), abbiamo che [tex]\sup\{\{1\},\{0,2\}\} = S[/tex] e che [tex]\max\{\{1\},\{0,2\}\}[/tex] non esiste! Infine, non è affatto detto che un insieme parzialmente ordinato finito dotato di massimo e minimo sia un reticolo (vedi l'esempio ii)).
Un reticolo booleano deve avere sempre cardinalità almeno pari (ad ogni elemento ne corrisponde univocamente un altro - il suo opposto - da esso distinto). Credo che debba anche avere come cardinalità una potenza di 2, ma adesso non ricordo la dimostrazione. Comunque questo consente di dire che vii) è sicuramente falso. D'altra parte viii) è banalmente falso. Basta considerare [tex]X = \{a_1, a_2, \ldots, a_8\}[/tex] con [tex]a_1 \le x[/tex] per ogni [tex]x \in X[/tex], [tex]x \le a_8[/tex] per ogni [tex]x \in X[/tex] e gli [tex]a_i[/tex], [tex]2 \le i \le 7[/tex] a due a due non confrontabili. Questo insieme ha cardinalità 8, è un reticolo, ma non è booleano perché il complemento non è unico (ogni elemento diverso dal minimo e dal massimo ha 5 complementi).
"gaten":
i) Se $(X, ≤)$ è un reticolo, esistono inf X e sup X;
i) Vero, poichè un reticolo è un insieme parzialmente ordinato che ad ogni coppia associa un inf e sup
Sbagli. L'esempio che dai nella seconda risposta è un controesempio!
"gaten":
ii) Se in $(X, ≤)$ esistono inf X e sup X, $X$ è un reticolo;
ii) Falso $(Z,<=)$ è totalmente ordinato, quindi è un reticolo ma non esiste nè minimo nè massimo. (però non sò se va bene)
Non stai rispondendo a questa domanda. Comunque, è falso. Considera [tex]X = \{a,b,c,d,e,f\}[/tex] con relazione [tex]a = \min X[/tex], [tex]f = \max X[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] inconfrontabili, [tex]d[/tex] ed [tex]e[/tex] inconfrontabili, [tex]b < d[/tex], [tex]b < e[/tex], [tex]c < d[/tex], [tex]c < e[/tex] (ti invito a disegnare il diagramma di Hasse; non posso farlo perché non è installato il pacchetto xymatrix). Allora gli elementi [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] non hanno estremo superiore!
"gaten":
iii) Se $(X, ≤)$ è totalmente ordinato, $X$ è un reticolo;
iii)Vero, è giusto se dico se è totalmente ordinato , esiste estremo inferiore e superiore? (qualcuno può dirmi come giustificare la risposta)?
Prova a farlo tu. Inizia a ricordare le definizioni. Cosa vuol dire totalmente ordinato? Cosa sono gli estremi inferiore e superiore?
"gaten":
iv) Se $(X, ≤)$ è un reticolo, $X$ è totalmente ordinato;
iv) Falso, (purtroppo presi gli appunti ma non scrissi il perchè, qualcuno può giustificare anche qui la risposta)
Beh, serve poca fantasia. I reticoli più interessanti sono quelli non totalmente ordinati. Ad esempio [tex]S = \{0,1,2\}[/tex], [tex]X = \mathcal P(S)[/tex] (l'insieme delle parti), ordinato rispetto all'inclusione insiemistica. Di sicuro non è un insieme totalmente ordinato ([tex]\{1\}[/tex] e [tex]\{0,2\}[/tex] non sono confrontabili).
"gaten":
v) Se Ω è una relazione d’ordine in $P(S)$, $(P(S), Ω)$ è un reticolo;
v) In questo caso dico no, perchè dipende dalla relazione no?
Certamente. Ad esempio, [tex]X = \{a,b,c\}[/tex] con [tex]a < b[/tex], [tex]a < c[/tex] non è un reticolo.
"gaten":
vi) $(P(S), ⊆)$ è un reticolo;
vi) Vero, presenta elemento minimo che è il ${O/}$ ed elemento massimo che è ${S}$, inoltre è un insieme finito quindi esiste max=sup e min=inf, inoltre è $P(S)$ è sempre complementato e sappiamo che se è complementato è limitato. E' giusto?
P.s:
avevo pensato anche a questo: "$(P(S), sube)$ è sempre complementato e poi è distributivo, quindi posso dire con certezza che è un reticolo?"
Qui hai fatto veramente un po' di casino. Innanzi tutto, le parentesi graffe non ci vogliono. Sono [tex]\emptyset[/tex] ed [tex]S[/tex] ad essere il minimo ed il massimo del reticolo. La seconda frase è sbagliata. Prendendo come esempio quello che ti ho dato nella risposta iv), abbiamo che [tex]\sup\{\{1\},\{0,2\}\} = S[/tex] e che [tex]\max\{\{1\},\{0,2\}\}[/tex] non esiste! Infine, non è affatto detto che un insieme parzialmente ordinato finito dotato di massimo e minimo sia un reticolo (vedi l'esempio ii)).
"gaten":
vii) Se $(X, ≤)$ è un reticolo e $|X|= 3^2$, $X$ non è un reticolo booleano;
viii) Se $(X, ≤)$ è un reticolo e $|X|= 2^3$, $X$ è un reticolo booleano.
Un reticolo booleano deve avere sempre cardinalità almeno pari (ad ogni elemento ne corrisponde univocamente un altro - il suo opposto - da esso distinto). Credo che debba anche avere come cardinalità una potenza di 2, ma adesso non ricordo la dimostrazione. Comunque questo consente di dire che vii) è sicuramente falso. D'altra parte viii) è banalmente falso. Basta considerare [tex]X = \{a_1, a_2, \ldots, a_8\}[/tex] con [tex]a_1 \le x[/tex] per ogni [tex]x \in X[/tex], [tex]x \le a_8[/tex] per ogni [tex]x \in X[/tex] e gli [tex]a_i[/tex], [tex]2 \le i \le 7[/tex] a due a due non confrontabili. Questo insieme ha cardinalità 8, è un reticolo, ma non è booleano perché il complemento non è unico (ogni elemento diverso dal minimo e dal massimo ha 5 complementi).
Potresti darmi un piccolo chiarimento sulla
la ii e la iv.
Basta considerare X={a1,a2,…,a8} con a1≤x per ogni x∈X , x≤a8 per ogni x∈X e gli ai , 2≤i≤7 a due a due non confrontabili. Questo insieme ha cardinalità 8, è un reticolo, ma non è booleano perché il complemento non è unico (ogni elemento diverso dal minimo e dal massimo ha 5 complementi).
la ii e la iv.
Cosa non ti è chiaro? Prova ad esprimere meglio i tuoi dubbi. Hai provato a disegnarti i diagrammi di Hasse dei reticoli in questione? Lo farei io, ma non posso su questo forum...
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