Proposizione sui coefficienti binomiali

[marcus1121]

Proposizione: per ogni $n>=0$ e ogni $k$ con $0
$((n+1),(k))$=$((n),(k))$+$((n),(k-1))$

Verifichiamo con i numeri:

$((0 + 1)!)/(- 2!(0 - -2)!) = (0!)/(- 2!(0 - -2)!) + (0!)/((-2 - 1)!(0 - -2 + 1)!)$

Chiedevo se va bene.

Se definiamo $((n),(k))= 0$ per $k<0$ o $k > n$, allora questa proprietà vale per tutti i $k$ interi.
Qualcuno mi può spiegare con un esempio questo enunciato…ho dei dubbi.

[blackbishop13]

ma da dove ti saltano fuori quei numeri negativi??
se proprio vuoi un esempio numerico, che però non so quanto sia utile, metti numeri un po' più sensati tipo $n=3$ e $k=2$

[marcus1121]

Io ho voluto provare per l'appunto con $n=0$ e $0 Perchè suggerisci altri numeri?

L'altro punto non mi è chiaro..tu come l'intendi?

[blackbishop13]

ma no..

se $n=0$ allora deve essere $0
prima della seconda proposizione ti conviene capire la prima. comunque quella si verifica anche prima di sviluppare la formula dei fattoriali, prova a farti qualche esempio, ma non è con gli esempi che si capisce, devi afferrrare il concetto.

EDIT ho corretto

[marcus1121]

Quindi per $n+1$ si intende sempre $n$ per cui è giusto quello che dici tu...

io avevo inteso $n+1=1$...ecco perchè non capivo il primo passo.

[blackbishop13]

ma no ho sbagliato a scrivere..

come con $n+1$ si intende sempre $n$ ?ma che senso potrebbe avere? ok io ho sbagliato, scusa, però cerca di capire..

anche con $0

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[marcus1121]

grazie per i chiarimenti....

Quindi la seconda proposizione:

Se definiamo $((n),(k))= 0$ per $k<0$ o $k > n$, allora questa proprietà vale per tutti i $k$ interi....giustamente!
se, ho capito:

$(3!)/(4!(4 - 2)!) = 1/8$ questo è l'esempio per $k>n$

$(2!)/(- 2!(2 - -2)!) = - 1/24 $ questo è l'esempio per $k
in tutti gli altri casi otteniamo dei numeri interi cioè il coefficiente binominale in realtà è un numero intero.

E questo come si spiega...
$(0!)/(1!(0 - 1)!)$ questo è un altro esempio per $k>n$
Cioè dobbiamo escludere che $n=0$ e poi tutto ritorna.

[blackbishop13]

è tutto sbagliato.

non puoi avere divisioni per $0$, e non può succedere che un coefficiente binomiale non sia intero.

se si definisce $((n),(k))=0$ se $n quel coefficiente binomiale con $n

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[marcus1121]

Vorrei mettere un po’ di ordine a piccoli passi:
Siano $n$ e $k$ due interi con $n>=0$ e $0<=k<=n$. Il coefficiente binomiale $((n),(k))$ è il numero razionale
$((n),(k))= (n!)/(k!(n-k)!)$=…..penso che fin qui ci siamo!
Il coefficiente binomiale è a priori un numero razionale o meglio un numero intero (questo si può dimostrare per induzione su $n$.

Proposizione: per ogni $n>=0$ e ogni

$k$ con $0
Abbiamo: $((n+1),(k))=((n),(k))+((n),(k-1))

[dissonance]

...il coefficiente binomiale è un numero razionale...

Ma no, è sempre intero. Sai che cos'è il coefficiente binomiale $((n), (k))$? E' il numero di modi possibili in cui puoi combinare $k$ oggetti scegliendo tra $n$, oppure -in matematichese- il numero di sottoinsiemi contenenti $k$ elementi di un insieme contenente $n$ elementi. Per esempio: quanti sottoinsiemi di 2 elementi ha l'insieme

${1, 2, 3}$?

Risposta: siccome i sottoinsiemi di 2 elementi sono

${1, 2}, {1, 3}, {2, 3}$

il numero richiesto è 3. Facciamo un po' il conto...

$((n), (k))=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ se $n=3, k=2$:

$((3), (2))=\frac{6}{2}=3$. Toh!

In particolare il coefficiente binomiale è sempre un numero intero.

[marcus1121]

Ho capito quello che volete dire ma ciò è quanto scritto su una dispensa di algebra....

ma cosa significa allora:

Proposizione: per ogni $n>=0$ e ogni

$k$ con $0
Abbiamo: $((n+1),(k))=((n),(k))+((n),(k-1))

[dissonance]

???

Non ho capito qual è il problema. Quella è l'identità che ti permette di costruire il triangolo di Tartaglia. Infatti il triangolo di Tartaglia è una tabella contenente i coefficienti binomiali $((n), (k))$, dove $n$ è l'indice di riga e $k$ è l'indice di colonna. Forse questa osservazione ti aiuta a capire meglio cosa stai trattando?

[gugo82]

@dissonance: Il problema è che per [tex]$n=0$[/tex] l'enunciato, così com'è scritto, perde di senso (cfr. [tex]$0
@marcus112: Cosa ci sarebbe di male se chi ha redatto la dispensa avesse sbagliato il testo dell'esercizio? Errare humanum est, no?

Una soluzione possibile è prendere [tex]$n\geq 1$[/tex], che poi mi sembra una cosa buona e giusta dato che le righe del triangolo di Tartaglia hanno termini intermedi tra gli [tex]$1$[/tex] solo da quella d'indice [tex]$n+1=2$[/tex] in poi.

[dissonance]

Scusa marcus, non avevo capito cosa volevi dire.

[marcus1121]

Il problema è che per [tex]$n=0$[/tex] l'enunciato, così com'è scritto, perde di senso (cfr. [tex]$0
E' questo quello che intendevo!

Vado avanti:

Se definiamo $((n),(k))=0$ per $k<0$ o $k>n$, allora questa proprietà(quella cioè precedentemente enunciata: $((n+1),(k))=((n),(k))+((n),(k-1))$ vale per tutti i $K$ interi.

come la devo intendere?
Con quest'ultima proposizione.....forse si capisce meglio quello che si intende!