Proposizione su dominio di integrità
Vorrei dimostrare la seguente proposizione nel contesto degli anelli
La mia idea era iniziare con char(A)=1 e notare che:
nomino $k:=char(A)$
] dato che k=1 allora per ogni $a in A$ $ka=0=1a <=> a=0$ dunque $A={0}$ il che contrasta con la definizione di dominio di integrità che richiede l'anello non dato dal solo elemento nullo. dunque k>1
] potrei forse anche dimostrare la stessa cosa in altro modo, dato che dato che deve valere per ogni a,b diversi dall'elemento nullo in A che $ab!=0$ (1) per definizione di Dom di integrità. Noto che se k=1 $ab=(a*1)b=(0)b=0$. ma questo contrasta con (1) ed è un assurdo che proviene dall'aver assunto k=1. Quindi k>1 come sopra.
Il punto è che se anche questi due primi modi fossero corretti, non ho la più pallida idea di come procedere nel caso k>1.
Chiedo aiuto
PS: tra l'altro mi sembra nella seconda via di stare sfruttando una ipotesi maggiore perché sto ammettendo un anello con unità, dato che la sfrutto.
Sia A dominio di integrità, allora caratteristica di A è zero (char(A)=0) oppure char(A) è primo.
La mia idea era iniziare con char(A)=1 e notare che:
nomino $k:=char(A)$
] dato che k=1 allora per ogni $a in A$ $ka=0=1a <=> a=0$ dunque $A={0}$ il che contrasta con la definizione di dominio di integrità che richiede l'anello non dato dal solo elemento nullo. dunque k>1
] potrei forse anche dimostrare la stessa cosa in altro modo, dato che dato che deve valere per ogni a,b diversi dall'elemento nullo in A che $ab!=0$ (1) per definizione di Dom di integrità. Noto che se k=1 $ab=(a*1)b=(0)b=0$. ma questo contrasta con (1) ed è un assurdo che proviene dall'aver assunto k=1. Quindi k>1 come sopra.
Il punto è che se anche questi due primi modi fossero corretti, non ho la più pallida idea di come procedere nel caso k>1.
Chiedo aiuto
PS: tra l'altro mi sembra nella seconda via di stare sfruttando una ipotesi maggiore perché sto ammettendo un anello con unità, dato che la sfrutto.
Risposte
Supponi che $na=0$ per qualche $n\in \mathbb N$ e $a\in A$. Supponi che $n$ non sia primo, diciamo $n=mm'$ con $m,m'>1$. Adesso prova a proseguire usando il fatto che $m=m\cdot 1_A$.
Grazie!
Ci provo, ma posto anche un paio di dubbi per non fasi mancare nulla XD
sfruttando il suggerimento: $m*1_A!=0, m'*1_A!=0$ entrambi diversi da zero dato che per HP dominio di integrità ora $(mm')*1_A=n*1_A=((n-1)*1_A)+1_A=0$ e quindi cado in contraddizione. L'ipotesi sbagliata è che con char=n avessi un dominio di integrità
Dubbi:
- l'ipotesi è solo dominio di integrità, non dice anello con unità a priori.
- Io ho solo dimostrato che NON è char=1 o qualsiasi altro n non primo. Ma nessuno mi dice che anche un char=p con p primo possa NON essere compatibile con l'ipotesi di dominio di integrità, insomma per quanto ne so potrebbe esistere un'altra dimostrazione che crea un assurdo sfruttando p. Il fatto che io non l'abbia trovata non vuol dire che sia un fatto generale, non mi convince il perché.
Ci provo, ma posto anche un paio di dubbi per non fasi mancare nulla XD
sfruttando il suggerimento: $m*1_A!=0, m'*1_A!=0$ entrambi diversi da zero dato che per HP dominio di integrità ora $(mm')*1_A=n*1_A=((n-1)*1_A)+1_A=0$ e quindi cado in contraddizione. L'ipotesi sbagliata è che con char=n avessi un dominio di integrità
Dubbi:
- l'ipotesi è solo dominio di integrità, non dice anello con unità a priori.
- Io ho solo dimostrato che NON è char=1 o qualsiasi altro n non primo. Ma nessuno mi dice che anche un char=p con p primo possa NON essere compatibile con l'ipotesi di dominio di integrità, insomma per quanto ne so potrebbe esistere un'altra dimostrazione che crea un assurdo sfruttando p. Il fatto che io non l'abbia trovata non vuol dire che sia un fatto generale, non mi convince il perché.
La caratteristica di un anello è, per definizione, il generatore dell'unico omomorfismo di anelli \(\mathbb Z \to A\); se \(A\) è un anello integro, può contenere una copia isomorfa di \(\mathbb Z/n\mathbb Z\) se e solo se \(n\) è primo (perché quest'ultimo è integro se e solo se $n$ è primo: altrimenti, se $n=hk$, \(h,k\in \mathbb Z/n\mathbb Z\) sono divisori di zero).
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