Proiezione canonica
Riflettevo su un Esempio del Piacentini Cattaneo.. in cui usa un modo strano di identificare l'imagine della proiezione canonica..
Mi spiego.
Primi passi della Teoria degli Anelli , ho la definizione di Anello Quoziente Modulo un suo ideale.
Dato $R$ anello e $I$ un suo ideale bilatero, definiamo $R/I$ il seguente insieme: ${a+I| a in R} $
Mostrato che questo sia un anello, il libro mi propone il seguente esercizio al fine di illustrare la proposizione " Se $f$ è un omomorfismo di $R$ in $R'$ allora dato $A$ un ideale, si ha che $f(A)$ è un ideale di $f(R)$.
Esercizio: Si consideri l'insieme $Z$ degli interi e l'insieme $4Z$ (i multipli di 4). Sappiamo bene che il quoziente $Z/(4Z)$ è l'anello $Z_4$ dei resti modulo 4.
Poi dice: Sia $A=6Z$ e sia $pi : Z -> Z_4$ la proiezione canonica che all'elemento $a in Z$ associa la classe $[a] = a + 4Z$.
Ecco dove non mi trovo: "Gli elementi di $6Z$ si distribuiscono in due sole delle classi di $Z_4$ perchè il resto della divisione di un multiplo di 6 con un multiplo di 4 può dare resti solo 0 e 2. PASSANDO AL QUOZIENTE MODULO $4Z$ si ha $pi(6Z)=(6Z + 4Z) /( 4Z)$ "
perchè diamine mai? sarà un qualcosa di evidente che non vedo.. perchè sto impazzendo..
Cioè per me $pi(6Z)$ è l'insieme ${6a + 4Z | a in Z}$ cioè $6Z + 4Z$.. non $ (6Z + 4Z) /( 4Z)$ come si collegano le due espressioni?
Perchè poi nel seguito del libro mi esce sempre questa espressione della proiezione canonica... che prima non è per nulla esplicitata.. uffa ..
Perchè dato un ideale $I$ di $R$ e data $pi : R --> R/I$ allora se $A$ è un ideale di R si ha che $pi(A) = (A+I)/I$ ????
Mi spiego.
Primi passi della Teoria degli Anelli , ho la definizione di Anello Quoziente Modulo un suo ideale.
Dato $R$ anello e $I$ un suo ideale bilatero, definiamo $R/I$ il seguente insieme: ${a+I| a in R} $
Mostrato che questo sia un anello, il libro mi propone il seguente esercizio al fine di illustrare la proposizione " Se $f$ è un omomorfismo di $R$ in $R'$ allora dato $A$ un ideale, si ha che $f(A)$ è un ideale di $f(R)$.
Esercizio: Si consideri l'insieme $Z$ degli interi e l'insieme $4Z$ (i multipli di 4). Sappiamo bene che il quoziente $Z/(4Z)$ è l'anello $Z_4$ dei resti modulo 4.
Poi dice: Sia $A=6Z$ e sia $pi : Z -> Z_4$ la proiezione canonica che all'elemento $a in Z$ associa la classe $[a] = a + 4Z$.
Ecco dove non mi trovo: "Gli elementi di $6Z$ si distribuiscono in due sole delle classi di $Z_4$ perchè il resto della divisione di un multiplo di 6 con un multiplo di 4 può dare resti solo 0 e 2. PASSANDO AL QUOZIENTE MODULO $4Z$ si ha $pi(6Z)=(6Z + 4Z) /( 4Z)$ "
perchè diamine mai? sarà un qualcosa di evidente che non vedo.. perchè sto impazzendo..
Cioè per me $pi(6Z)$ è l'insieme ${6a + 4Z | a in Z}$ cioè $6Z + 4Z$.. non $ (6Z + 4Z) /( 4Z)$ come si collegano le due espressioni?
Perchè poi nel seguito del libro mi esce sempre questa espressione della proiezione canonica... che prima non è per nulla esplicitata.. uffa ..
Perchè dato un ideale $I$ di $R$ e data $pi : R --> R/I$ allora se $A$ è un ideale di R si ha che $pi(A) = (A+I)/I$ ????
Risposte
Formalmente, dati un anello [tex]R[/tex], due suoi ideali [tex]I,A[/tex] e detta [tex]\pi:R \to R/I[/tex] la proiezione canonica, si ha
[tex]\pi(A) = \{\pi(a)\ |\ a \in A\} = \{a+I\ |\ a \in A\} = (A+I)/I[/tex].
Infatti:
[tex](A+I)/I = \{a+i+I\ |\ a \in A,\ i \in I\} = \{a+I\ |\ a \in A\}[/tex].
In generale se [tex]G[/tex] e' un gruppo e [tex]A,B[/tex] sono suoi sottogruppi con [tex]A[/tex] normale allora l'immagine di [tex]B[/tex] in [tex]G/A[/tex] e' [tex]BA/A[/tex], infatti
[tex]BA/A = \{baA\ |\ b \in B,\ a \in A\} = \{bA\ |\ b \in B\}[/tex].
[tex]\pi(A) = \{\pi(a)\ |\ a \in A\} = \{a+I\ |\ a \in A\} = (A+I)/I[/tex].
Infatti:
[tex](A+I)/I = \{a+i+I\ |\ a \in A,\ i \in I\} = \{a+I\ |\ a \in A\}[/tex].
In generale se [tex]G[/tex] e' un gruppo e [tex]A,B[/tex] sono suoi sottogruppi con [tex]A[/tex] normale allora l'immagine di [tex]B[/tex] in [tex]G/A[/tex] e' [tex]BA/A[/tex], infatti
[tex]BA/A = \{baA\ |\ b \in B,\ a \in A\} = \{bA\ |\ b \in B\}[/tex].
Quindi $pi(A)$ non è $A/I$ ??
che stupido.. A/I non ha senso come scrittura... -.- nessuno garantisce che i sia ideale di A
Appunto 
Comunque non è vero che se [tex]f:R \to S[/tex] è un omomorfismo di anelli e [tex]I[/tex] è un ideale di [tex]R[/tex] allora [tex]f(I)[/tex] è un ideale di [tex]S[/tex]. Prendi per esempio l'inclusione [tex]\mathbb{Z} \to \mathbb{Q}[/tex] e [tex]I=2\mathbb{Z}[/tex]. Però è vero se [tex]f[/tex] è suriettiva.
No no... lo so lo so..al massimo $f(I)$ è ideale di $Imf$
Grazie comunque.. sempre in gamba
Grazie comunque.. sempre in gamba
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