Prodotto tensoriale moduli

[misanino]

Sia R un anello e sia M un R-modulo sinistro (nel senso che R agisce su M da sinistra).
So che $R\otimesM$ è isomorfo a M, ma non so come mostrarlo.
Vorrei quindi sapere: qual'è questo ismorfismo?

Se qualcuno mi sa dire come si fa il simbolo tensor, allora cambio questo post e lo rendo più leggibile.
Grazie

[Studente Anonimo]

L'idea è definire [tex]R \times M \to M,\ (r,m) \mapsto rm[/tex] ed usare la proprietà universale del prodotto tensoriale per dedurre una mappa [tex]R \otimes_R M \to M[/tex] che manda [tex]r \otimes m[/tex] in [tex]rm[/tex]. Per mostrare che è biiettiva basta esibire l'inversa.

PS: [tex]\otimes[/tex] = \otimes.

[misanino]

"Martino":L'idea è definire [tex]R \times M \to M,\ (r,m) \mapsto rm[/tex] ed usare la proprietà universale del prodotto tensoriale per dedurre una mappa [tex]R \otimes_R M \to M[/tex] che manda [tex]r \otimes m[/tex] in [tex]rm[/tex]. Per mostrare che è biiettiva basta esibire l'inversa.

PS: [tex]\otimes[/tex] = \otimes.

Prima di tutto grazie.
Effettivamente anche io avevo pensato a questo.
Solo che non mi pareva che fosse così facile dire che è iniettiva.
Infatti non mi viene in mente quale sia l'inversa.
Preso infatti un elemento $m\inM$ a quale $r\otimesm$ lo devo associare dal momento che esistono tanti $r\otimes m$?

[Studente Anonimo]

Prima di tutto prego

"misanino":Preso infatti un elemento $m\inM$ a quale $r\otimesm$ lo devo associare dal momento che esistono tanti $r\otimes m$?

Prova con [tex]1 \otimes m[/tex].

Il fatto che la mappa [tex](r,m) \mapsto r \otimes m[/tex] è bilineare ("bilanciata", se stai facendo algebra non commutativa) ti dice che [tex]1 \otimes rm = r \otimes m[/tex] quindi sei a posto.

[misanino]

"Martino":

Il fatto che la mappa [tex](r,m) \mapsto r \otimes m[/tex] è bilineare ("bilanciata", se stai facendo algebra non commutativa) ti dice che [tex]1 \otimes rm = r \otimes m[/tex] quindi sei a posto.

E' vero!!!
La mappa è bilineare in R!!
Grazie mille.
Alla prossima

[Studente Anonimo]

Ah, naturalmente occorre che esista 1 in R, ma non credo che si faccia teoria dei moduli su anelli non unitari.. Il problema quando l'anello non è unitario è che l'isomorfismo esiste ma non è canonico.

Alla prossima.