Prodotto tensoriale di estensioni di campi

[beltzer]

Siano $E_1$,$E_2$ estensioni finite e separabili di un campo $F$.
Mi dicono che è vero che che il loro prodotto tensoriale come $F$algebre è isomorfo al prodotto di estensioni finite e separabili di $F$.
Nel caso che $E_1\cap E_2=F$ allora si vede che questo è vero, in quanto $E_1\otimes E_2 \cong E1\cdot E_2$.
Ma se l'intersezione non è banale? come si scrive $E_1\otimes E_2$ come prodotto di estensioni finite e separabili?

[Stickelberger]

Anche se $E_1\cap E_2=F$, non e’ detto che $E_1\otimes_F E_2$ sia isomorfo a $E_1E_2$.

Per esempio, sia $F= QQ$ e siano $\alpha_1, \alpha_2\in CC$ due radici
distinte del polinomio $X^3-2$. Siano $E_1=QQ(\alpha_1)$ e $E_2=QQ(\alpha_2)$.

Allora la $QQ$-dimensione di $E_1\otimes_F E_2$ e’ $3\cdot 3=9$, mentre
la $QQ$-dimensione di $E_1E_2=QQ(\alpha_1,\zeta_3)$ e’ uguale a $6$.

Qua usiamo il fatto che $\alpha_2=\zeta_3\alpha_1$, dove $\zeta_3$ e’ una radice cubica dell’unita’.

[beltzer]

Si, in effetti è necessario che almeno una delle due sia di Galois.