Prodotto tensoriale
Sto usando in questi giorni degli spazi di Hilbert ottenuti per prodotto tensoriale di spazi dati. Mi chiedevo quale fosse l'ambito più generale in cui interviene questo tipo di costruzione.
Risposte
L'ambito più generale che io conosca in cui definire il prodotto tensoriale è nella teoria dei moduli!
E come funziona? Spiegami un po'... (se hai tempo e voglia, chiaramente).
Ho tutta la voglia di scrivere un bel post sul prodotto tensoriale tra moduli su un anello 
ma è che una spiegazione lunga e faticosa (l'ho scritta giusto per non offendere la parola "lunga" 
) ed il tempo non è a mio favore, per cui scriverò un post a puntate o più post... vedremo! 
Inizio con richiamare le definizioni di modulo sinistro [tex]$M$[/tex] su un anello [tex]$R$[/tex], dato un anello unitario [tex]$(R,+,\cdot)$[/tex] un [tex]$R$[/tex]-modulo sinistro è una struttura algebrica [tex]$(M,+;R,\cdot)$[/tex] tale che: [tex]$(M,+)$[/tex] sia un gruppo abeliano, l'operazione esterna di dominio operatoriale [tex]$R$[/tex] sia [tex]$\cdot:R\times M\to M$[/tex] e risulti che [tex]$\forall a;b\in M;\,r;s\in R,\,r(a+b)=ra+rb,\,(r+s)a=ra+rb,\,r(sa)=(rs)a,\,1a=a$[/tex], invece, si definisce [tex]$R$[/tex]-modulo destro con [tex]$\cdot:M\times R\to M;\,\forall a;b\in M;\,r;s\in R,\,(a+b)r=ar+br,\,a(r+s)=ar+as,\,(ar)s=a(rs),\,a1=a$[/tex]; attenzione a distinguere le operazioni di [tex]$R$[/tex] dalle operazioni di [tex]$M$[/tex]. Il prodotto tensoriale tra moduli richiede che tali siano moduli sul medesimo anello [tex]$R$[/tex], il primo un [tex]$R$[/tex]-modulo destro e l'altro sinistro o viceversa.
Siano [tex]$A$[/tex] un gruppo abeliano, [tex]$R$[/tex] un anello unitario, [tex]$M$[/tex] un [tex]$R$[/tex]-modulo destro ed [tex]$N$[/tex] un [tex]$R$[/tex]-modulo sinistro, un'applicazione [tex]$\beta:M\times N\to A$[/tex] dell'insieme [tex]$M\times N$[/tex] nel gruppo abeliano [tex]$A$[/tex] si definisce bilineare od armonica se [tex]$\forall r\in R;\,x_1;x_2;x\in M;\,y_1;y_2;y\in N,\,\beta(x_1+x_2;y)=\beta(x_1;y)+\beta(x_2;y),\,\beta(x;y_1+y_2)=\beta(x;y_1)+\beta(x;y_2),\,\beta(xr;y)=\beta(x;ry)$[/tex].
Il prodotto tensoriale [tex]$M\otimes_R N$[/tex] di [tex]$M$[/tex] per [tex]$N$[/tex] è la coppia [tex]$(T;\tau)$[/tex], ove [tex]$T$[/tex] è un gruppo abeliano e [tex]$\tau$[/tex] è un'applicazione armonica di [tex]$M\times N$[/tex] in [tex]$T$[/tex] tale che: per ogni gruppo abeliano [tex]$A$[/tex] e per ogni applicazione armonica [tex]$\beta$[/tex] di [tex]$M\times N$[/tex] in [tex]$A$[/tex] esiste un unico omomorfismo [tex]$\alpha:T\to A$[/tex] per il quale [tex]$\alpha\circ\tau=\beta$[/tex].
Ovviamente bisognerebbe dimostrare l'esistenza di [tex]$(T;\tau)$[/tex] per ogni dato modulo su ogni dato anello unitario. Purtroppo non saprei come inserire dei diagrammi funzionali per facilitare l'esposizione, non credo nemmeno di essere stato il massimo della limpidità! -_-
ma è che una spiegazione lunga e faticosa (l'ho scritta giusto per non offendere la parola "lunga" ) ed il tempo non è a mio favore, per cui scriverò un post a puntate o più post... vedremo! Inizio con richiamare le definizioni di modulo sinistro [tex]$M$[/tex] su un anello [tex]$R$[/tex], dato un anello unitario [tex]$(R,+,\cdot)$[/tex] un [tex]$R$[/tex]-modulo sinistro è una struttura algebrica [tex]$(M,+;R,\cdot)$[/tex] tale che: [tex]$(M,+)$[/tex] sia un gruppo abeliano, l'operazione esterna di dominio operatoriale [tex]$R$[/tex] sia [tex]$\cdot:R\times M\to M$[/tex] e risulti che [tex]$\forall a;b\in M;\,r;s\in R,\,r(a+b)=ra+rb,\,(r+s)a=ra+rb,\,r(sa)=(rs)a,\,1a=a$[/tex], invece, si definisce [tex]$R$[/tex]-modulo destro con [tex]$\cdot:M\times R\to M;\,\forall a;b\in M;\,r;s\in R,\,(a+b)r=ar+br,\,a(r+s)=ar+as,\,(ar)s=a(rs),\,a1=a$[/tex]; attenzione a distinguere le operazioni di [tex]$R$[/tex] dalle operazioni di [tex]$M$[/tex]. Il prodotto tensoriale tra moduli richiede che tali siano moduli sul medesimo anello [tex]$R$[/tex], il primo un [tex]$R$[/tex]-modulo destro e l'altro sinistro o viceversa.
Siano [tex]$A$[/tex] un gruppo abeliano, [tex]$R$[/tex] un anello unitario, [tex]$M$[/tex] un [tex]$R$[/tex]-modulo destro ed [tex]$N$[/tex] un [tex]$R$[/tex]-modulo sinistro, un'applicazione [tex]$\beta:M\times N\to A$[/tex] dell'insieme [tex]$M\times N$[/tex] nel gruppo abeliano [tex]$A$[/tex] si definisce bilineare od armonica se [tex]$\forall r\in R;\,x_1;x_2;x\in M;\,y_1;y_2;y\in N,\,\beta(x_1+x_2;y)=\beta(x_1;y)+\beta(x_2;y),\,\beta(x;y_1+y_2)=\beta(x;y_1)+\beta(x;y_2),\,\beta(xr;y)=\beta(x;ry)$[/tex].
Il prodotto tensoriale [tex]$M\otimes_R N$[/tex] di [tex]$M$[/tex] per [tex]$N$[/tex] è la coppia [tex]$(T;\tau)$[/tex], ove [tex]$T$[/tex] è un gruppo abeliano e [tex]$\tau$[/tex] è un'applicazione armonica di [tex]$M\times N$[/tex] in [tex]$T$[/tex] tale che: per ogni gruppo abeliano [tex]$A$[/tex] e per ogni applicazione armonica [tex]$\beta$[/tex] di [tex]$M\times N$[/tex] in [tex]$A$[/tex] esiste un unico omomorfismo [tex]$\alpha:T\to A$[/tex] per il quale [tex]$\alpha\circ\tau=\beta$[/tex].
Ovviamente bisognerebbe dimostrare l'esistenza di [tex]$(T;\tau)$[/tex] per ogni dato modulo su ogni dato anello unitario. Purtroppo non saprei come inserire dei diagrammi funzionali per facilitare l'esposizione, non credo nemmeno di essere stato il massimo della limpidità! -_-
Effettivamente è un po' un casino. 
Ma so che non è colpa tua, è proprio la teoria ad essere così. In realtà credo di avere intuito almeno il senso: nel caso di spazi di Hilbert (prendiamoli reali) [tex]H_1, H_2[/tex], il prodotto tensoriale è, detto alla buona, il più piccolo spazio di Hilbert in cui possano vivere le forme bilineari
[tex]$u \otimes v,\quad u \in H_1, v \in H_2,[/tex]
definite come
[tex]$u \otimes v (\varphi_1 \times \varphi_2):=(u, \varphi_1)_{H_1}(v, \varphi_2)_{H_2}[/tex] ([tex](, )[/tex] indica il prodotto scalare).
[tex]T[/tex] in questo caso dovrebbe essere [tex](\mathbb{R}, +)[/tex], direi... no? Appena finisco di scrivere la tesi di laurea ci penserò un po' su. Intanto ti ringrazio, Armando. Se vuoi aggiungere qualcosa fai pure, io leggo con piacere.
Ma so che non è colpa tua, è proprio la teoria ad essere così. In realtà credo di avere intuito almeno il senso: nel caso di spazi di Hilbert (prendiamoli reali) [tex]H_1, H_2[/tex], il prodotto tensoriale è, detto alla buona, il più piccolo spazio di Hilbert in cui possano vivere le forme bilineari
[tex]$u \otimes v,\quad u \in H_1, v \in H_2,[/tex]
definite come
[tex]$u \otimes v (\varphi_1 \times \varphi_2):=(u, \varphi_1)_{H_1}(v, \varphi_2)_{H_2}[/tex] ([tex](, )[/tex] indica il prodotto scalare).
[tex]T[/tex] in questo caso dovrebbe essere [tex](\mathbb{R}, +)[/tex], direi... no? Appena finisco di scrivere la tesi di laurea ci penserò un po' su. Intanto ti ringrazio, Armando. Se vuoi aggiungere qualcosa fai pure, io leggo con piacere.
...se vogliamo, la costruzione più generale possibile passa per la teoria delle categorie e definisce un prodotto tensoriale in maniera molto interessante... se hai un minimo di idea ti posso scrivere un minimo di introduzione.
Lo sò @LordK ma volutamente l'ho evitata. Purtroppo in questi giorni sto scrivendo una mini-dispensa (dalle funzioni agli integrali) di analisi matematica per un diplomato al classico che deve sostenere la prova di esonero di fisica; ovviamente il docente ha detto poco e nulla di questa roba per chi non la conosce, appena finisco concludo col dimostrare l'esistenza dei gruppi abeliani liberi mediante la loro costruzione e quindi dimostro l'esistenza del prodotto tensoriale di moduli (su medesimo anello).
Detto in maniera becera, da Analista che non si perde troppo in chiacchiere, il prodotto tensoriale serve a definire lo spazio delle forme bilineari su di uno spazio prodotto.
Ad esempio, è facile mostrare che se [tex]$V,W$[/tex] sono due spazi vettoriali, allora le forme bilineari sullo spazio prodotto di [tex]$V$[/tex] e [tex]$W$[/tex] sono tutte e sole le applicazioni [tex]$b(v,w)$[/tex] per le quali esistono [tex]$v^*\in V^*, w^*\in W^*$[/tex] tali che [tex]$b(v,w)=\langle v^*,v\rangle\ \langle w^* ,w\rangle$[/tex]. La forma bilineare a secondo membro so chiama prodotto tensoriale di [tex]$v^*$[/tex] e [tex]$w^*$[/tex] e si indica con [tex]$v^*\otimes w^*$[/tex].
Lo spazio [tex]$V^*\otimes W^*$[/tex], detto prodotto tensoriale di [tex]$V^*$[/tex] e [tex]$W^*$[/tex], è costituito dagli elementi [tex]$v^*\otimes w^*$[/tex], ossia è lo spazio delle forme bilineari su [tex]$V\oplus W$[/tex].
Insomma, per un Analista il prodotto tensoriale è importante perchè è un operazione che consente di costruire forme bilineari su spazi prodotto a partire dai duali di tali spazi.
Visto che per il teorema di Riesz ogni spazio di Hilbert può essere riguardato come spazio duale continuo (e non semplicemente algebrico, di se stesso), è chiaro che si può parlare di prodotto tensoriale di due spazi di Hilbert: le forme bilineari che verranno fuori da un'operazione di prodotto tensoriale tra spazi di questo tipo saranno tutte e sole le forme bilineari continue definite sullo spazio prodotto dei due spazi assegnati.
Tutta la generalizzazione proposta da j18eos e Lord K ha le sue radici in questo semplice fatto; anzi, tutta l'Algebra che si costruisce su questa operazione ha come intento quello di estendere ciò che si può fare in ambito vettoriale ad altri tipi di strutture (più astratte e perciò meno maneggevoli) ed è, in massima parte, frutto di sensate analogie. Ma parlare di categorie o di moduli non leva e non mette quasi nulla alla comprensione dell'operazione di prodotto tensoriale che serve ad un Analista.
Ad esempio, è facile mostrare che se [tex]$V,W$[/tex] sono due spazi vettoriali, allora le forme bilineari sullo spazio prodotto di [tex]$V$[/tex] e [tex]$W$[/tex] sono tutte e sole le applicazioni [tex]$b(v,w)$[/tex] per le quali esistono [tex]$v^*\in V^*, w^*\in W^*$[/tex] tali che [tex]$b(v,w)=\langle v^*,v\rangle\ \langle w^* ,w\rangle$[/tex]. La forma bilineare a secondo membro so chiama prodotto tensoriale di [tex]$v^*$[/tex] e [tex]$w^*$[/tex] e si indica con [tex]$v^*\otimes w^*$[/tex].
Lo spazio [tex]$V^*\otimes W^*$[/tex], detto prodotto tensoriale di [tex]$V^*$[/tex] e [tex]$W^*$[/tex], è costituito dagli elementi [tex]$v^*\otimes w^*$[/tex], ossia è lo spazio delle forme bilineari su [tex]$V\oplus W$[/tex].
Insomma, per un Analista il prodotto tensoriale è importante perchè è un operazione che consente di costruire forme bilineari su spazi prodotto a partire dai duali di tali spazi.
Visto che per il teorema di Riesz ogni spazio di Hilbert può essere riguardato come spazio duale continuo (e non semplicemente algebrico, di se stesso), è chiaro che si può parlare di prodotto tensoriale di due spazi di Hilbert: le forme bilineari che verranno fuori da un'operazione di prodotto tensoriale tra spazi di questo tipo saranno tutte e sole le forme bilineari continue definite sullo spazio prodotto dei due spazi assegnati.
Tutta la generalizzazione proposta da j18eos e Lord K ha le sue radici in questo semplice fatto; anzi, tutta l'Algebra che si costruisce su questa operazione ha come intento quello di estendere ciò che si può fare in ambito vettoriale ad altri tipi di strutture (più astratte e perciò meno maneggevoli) ed è, in massima parte, frutto di sensate analogie. Ma parlare di categorie o di moduli non leva e non mette quasi nulla alla comprensione dell'operazione di prodotto tensoriale che serve ad un Analista.
Ooops, non avevo visto questo thread.
Anch'io parlerò beceramente, questa volta dal punto di vista di un (aspirante) geometra.
Il concetto nasce, secondo me, per generalizzare il concetto il concetto di tensore su uno spazio vettoriale [tex]V[/tex] reale (solitamente i geometri pensano alla dimensione finita).
In questi casi il prodotto tensoriale [tex]T^r_s(V)=\underbrace{V\otimes\dots\otimes V}_{r\textrm{ volte}}\otimes\underbrace{V^*\otimes\dots\otimes V^*}_{s\textrm{ volte}}[/tex] ha una rappresentazione simpatica.
Puoi pensare ad un elemento di [tex]T^r_s[/tex] come ad un'applicazione [tex]\mathbb{R}[/tex]-multilineare
[tex]T:\underbrace{V^*\times\dots\times V^*}_{r\textrm{ volte}}\times\underbrace{V\times\dots\times V}_{s\textrm{ volte}}\to\mathbb{R}.[/tex]
In geometria hai uno spazio vettoriale [tex]V[/tex] (solitamente lo spazio tangente alla varietà) su cui si assegna una struttura, ovvero si assegna un tensore di specie [tex](r,s)[/tex] su [tex]V[/tex]. Studiare la struttura significa chiedersi come sono fatti gli omomorfismi della struttura e quali sono le proprietà che sono invarianti rispetto agli omomorfismi
Pensa per esempio ad un prodotto scalare (forma bilineare definita positiva) che, come ha mostrato Gugo, è in soldoni un elemento di [tex]T^0_2[/tex] definito positivo.
Ottieni la geometria euclidea: gli omomorfismi di uno spazio vettoriale euclideo non sono altro che le applicazioni ortogonali (che, se sai cos'è, hanno la struttura di gruppo di Lie e non è un caso, né un dettaglio trascurabile) e le proprietà euclidee sono quelle invarianti rispetto alle applicazioni ortogonali.
Ma pensa anche ad una struttura quasi complessa. Si tratta di un elemento [tex]J[/tex] di [tex]T^1_1[/tex] (o equivalentemente un'applicazione lineare [tex]J:V\to V[/tex]) tale che [tex]J^2=-id[/tex]. Si studia il gruppo (di Lie!) delle applicazioni lineari che conservano la struttura quasi complessa e le proprietà invarianti...
Ma di strutture (leggi: elemento di qualche prodotto tensoriale) ce ne sono un'infinità: [tex]f[/tex]-strutture, strutture prodotto, strutture simplettiche, strutture di quasi-contatto e ognuna di questa corrisponde ad una precisa struttura geometrica su varietà. Lo spazio vettoriale è quello tangente alla varietà in un punto o meglio, dopo aver sistemato qualche dettaglio tecnico, si pensa a campi tensoriali sul fibrato tangente, cioè si pensa ad assegnare qualche struttura ad ogni spazio tangente.
Capisco di non essere stato chiarissimo...vabbè ci ho provato...
Anch'io parlerò beceramente, questa volta dal punto di vista di un (aspirante) geometra.
Il concetto nasce, secondo me, per generalizzare il concetto il concetto di tensore su uno spazio vettoriale [tex]V[/tex] reale (solitamente i geometri pensano alla dimensione finita).
In questi casi il prodotto tensoriale [tex]T^r_s(V)=\underbrace{V\otimes\dots\otimes V}_{r\textrm{ volte}}\otimes\underbrace{V^*\otimes\dots\otimes V^*}_{s\textrm{ volte}}[/tex] ha una rappresentazione simpatica.
Puoi pensare ad un elemento di [tex]T^r_s[/tex] come ad un'applicazione [tex]\mathbb{R}[/tex]-multilineare
[tex]T:\underbrace{V^*\times\dots\times V^*}_{r\textrm{ volte}}\times\underbrace{V\times\dots\times V}_{s\textrm{ volte}}\to\mathbb{R}.[/tex]
In geometria hai uno spazio vettoriale [tex]V[/tex] (solitamente lo spazio tangente alla varietà) su cui si assegna una struttura, ovvero si assegna un tensore di specie [tex](r,s)[/tex] su [tex]V[/tex]. Studiare la struttura significa chiedersi come sono fatti gli omomorfismi della struttura e quali sono le proprietà che sono invarianti rispetto agli omomorfismi
Pensa per esempio ad un prodotto scalare (forma bilineare definita positiva) che, come ha mostrato Gugo, è in soldoni un elemento di [tex]T^0_2[/tex] definito positivo.
Ottieni la geometria euclidea: gli omomorfismi di uno spazio vettoriale euclideo non sono altro che le applicazioni ortogonali (che, se sai cos'è, hanno la struttura di gruppo di Lie e non è un caso, né un dettaglio trascurabile) e le proprietà euclidee sono quelle invarianti rispetto alle applicazioni ortogonali.
Ma pensa anche ad una struttura quasi complessa. Si tratta di un elemento [tex]J[/tex] di [tex]T^1_1[/tex] (o equivalentemente un'applicazione lineare [tex]J:V\to V[/tex]) tale che [tex]J^2=-id[/tex]. Si studia il gruppo (di Lie!) delle applicazioni lineari che conservano la struttura quasi complessa e le proprietà invarianti...
Ma di strutture (leggi: elemento di qualche prodotto tensoriale) ce ne sono un'infinità: [tex]f[/tex]-strutture, strutture prodotto, strutture simplettiche, strutture di quasi-contatto e ognuna di questa corrisponde ad una precisa struttura geometrica su varietà. Lo spazio vettoriale è quello tangente alla varietà in un punto o meglio, dopo aver sistemato qualche dettaglio tecnico, si pensa a campi tensoriali sul fibrato tangente, cioè si pensa ad assegnare qualche struttura ad ogni spazio tangente.
Capisco di non essere stato chiarissimo...vabbè ci ho provato...
Ragazzi scusate se non sto commentando, è che sono parecchio impegnato. Però ho letto con interesse tutti gli interventi e li ho graditi molto. Grazie!
Allora, sto riprendendo un po' l'argomento. Per iniziare sto leggendo un bel libro che mi ha consigliato ciampax, Tensor Algebra and Tensor Analysis for Engineers di M. Itskov. E' un libro for engineers, quindi molto diretto alle idee e senza fronzoli matematici: per questo volevo chiedere un chiarimento.
Sostanzialmente Itskov non dà una definizione generale di tensore, introducendo il concetto un po' alla volta a seconda di quello che gli serve. Finora ha usato solo tensori "di secondo ordine", definiti come operatori lineari di uno spazio vettoriale Euclideo [tex]\mathbb{E}^n[/tex] in sé. Quindi un tensore di secondo ordine è un oggetto [tex]\mathbf{A}[/tex] che agisce sui vettori [tex]\mathbf{x}, \mathbf{y}[/tex] in questa maniera: [tex]\mathbf{x}\cdot \mathbf{A} \mathbf{y}[/tex]. Quando poi si sceglie una base di [tex]\mathbb{E}^n[/tex] questo diventa un affare a due indici: [tex]A^{i, j}[/tex] oppure [tex]A^i_{\cdot j}[/tex], eccetera.
A cosa corrisponde questa definizione, nel quadro generale indicato da cirasa? Io direi a un tensore in [tex]T^0_2[/tex], a questo punto.
P.S.: Ah credo di avere capito. Itskov sta identificando sistematicamente [tex]\mathbb{E}^n[/tex] e [tex](\mathbb{E}^n)^\star[/tex] per mezzo del prodotto scalare [tex]\cdot[/tex]. In questa maniera lui parla semplicemente di "tensori di secondo ordine" comprendendo in un unico caso tutti gli spazi [tex]T^0_2, T^1_1, T^2_0[/tex]. Ecco perché alza e abbassa indici senza troppi problemi.
Sostanzialmente Itskov non dà una definizione generale di tensore, introducendo il concetto un po' alla volta a seconda di quello che gli serve. Finora ha usato solo tensori "di secondo ordine", definiti come operatori lineari di uno spazio vettoriale Euclideo [tex]\mathbb{E}^n[/tex] in sé. Quindi un tensore di secondo ordine è un oggetto [tex]\mathbf{A}[/tex] che agisce sui vettori [tex]\mathbf{x}, \mathbf{y}[/tex] in questa maniera: [tex]\mathbf{x}\cdot \mathbf{A} \mathbf{y}[/tex]. Quando poi si sceglie una base di [tex]\mathbb{E}^n[/tex] questo diventa un affare a due indici: [tex]A^{i, j}[/tex] oppure [tex]A^i_{\cdot j}[/tex], eccetera.
A cosa corrisponde questa definizione, nel quadro generale indicato da cirasa? Io direi a un tensore in [tex]T^0_2[/tex], a questo punto.
P.S.: Ah credo di avere capito. Itskov sta identificando sistematicamente [tex]\mathbb{E}^n[/tex] e [tex](\mathbb{E}^n)^\star[/tex] per mezzo del prodotto scalare [tex]\cdot[/tex]. In questa maniera lui parla semplicemente di "tensori di secondo ordine" comprendendo in un unico caso tutti gli spazi [tex]T^0_2, T^1_1, T^2_0[/tex]. Ecco perché alza e abbassa indici senza troppi problemi.
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