Prodotto semidiretto interno
Salve a tutti, espongo il mio dubbio.
Ho un gruppo di Galois $G$ di ordine 12 non abeliano che ha un sottogruppo isomorfo $C_2$ e uno isomorfo a $C_6$ tali che $C_2\cap C_6=\{1\}$. Chiaramente $C_6$ e' normale in $G$, percio' il mio gruppo di Galois e' il prodotto semidiretto interno $G=C_2C_6$; come faccio ora a concludere che esso equivale proprio a $D_12$?
So che $D_12$ si puo' esprimere come prodotto semidiretto esterno di $C_2$ e $C_6$ con $C_2$ che agisce per inversione su $C_6$, ma nel caso di un prodotto semidiretto interno come devo comportarmi?
Ho un gruppo di Galois $G$ di ordine 12 non abeliano che ha un sottogruppo isomorfo $C_2$ e uno isomorfo a $C_6$ tali che $C_2\cap C_6=\{1\}$. Chiaramente $C_6$ e' normale in $G$, percio' il mio gruppo di Galois e' il prodotto semidiretto interno $G=C_2C_6$; come faccio ora a concludere che esso equivale proprio a $D_12$?
So che $D_12$ si puo' esprimere come prodotto semidiretto esterno di $C_2$ e $C_6$ con $C_2$ che agisce per inversione su $C_6$, ma nel caso di un prodotto semidiretto interno come devo comportarmi?
Risposte
Basta che dimostri che non è commutativo, dato che l'unico automorfismo non banale di [tex]C_6[/tex] è l'inversione.
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