Prodotto semidiretto di gruppi.
Problema dell'herstein,se $o(G)=pq$, $p$,$q$, primi distinti con $p
(b) Se $p$ divide $q-1$, allora esiste un solo gruppo non abeliano di ordine $pq$.
Il quesito (a) si risolve facilmente infatti per il teorema di Sylow il numero dei $p-$sottogruppi distinti deve essere $s_p=1+pk$ ed inoltre deve $s_p|o(G)$ ma ciò implica $k=0$, pertanto avremo un unico $p-$sottogruppo $H$ e quindi normale in $G$. Con un ragionamento perfettamente analogo possiamo affermare che avra un unico $q-$sottogruppo $K$ e quindi anch'esso normale in $G$. Dato che $p$ e $q$ sono primi e distinti, deduco che deve essere $HnnK=(e)$, quindi
risulta il gruppo ciclico $G=HxxK$ cioè prodotto diretto dei due sottogruppi.
Per quanto riguarda il quesito (b) , sicuramente avrò un unico $q-$sottogruppo di Sylow, pertanto normale in $G$, mentre
la condizione $p|(q-1)$ comporta sempre per Sylow ,oltre alla possibilità di avere un unico $p$-sylow e quindi ottenere il Gruppo come prodotto diretto dei due suoi sottogruppi come sopra, devo prendere anche in considerazione il caso in cui avrò esattamente $p$-sottogruppi distinti in numero di $q$. Nessuno di tali $p$ sottogruppi potrà ovviamente risultare normale in $G$ in quanto diversamente $G$ risulterebbe ciclico, e quindi avrebbe un unico $p$-sottogruppo in contrasto con Sylow. Indicando genericamente uno dei $p$-sottogruppi con $H$ ed l'unico $q$-sottogruppo con $K$,in questo ultimo caso si determineranno le seguenti condizioni: $G=HK$ cioè ogni elemento di $G$ deve potersi scrivere come $hk$ con $hinH$ e $kinK$(gli elementi $hk$ sono distinti), $HnnK=(e)$, ed il sottogruppo $K$ normale in $G$,quindi se esiste un gruppo $G$ siffatto deve potersi realizzare completamente come prodotto semidiretto tra $H$ e $K$ secondo un omorfismo strutturale
$phi$ di $H ->AUT(K)$ che non può essere l'identico in quanto comporterebbe abelianità e quindi il prodotto diretto tra $H$ e $K$ . Adesso sapendo che essendo $o(K)=q$ con $q$ primo risulta $|AUT(K)|=q-1$ ed inoltre tale gruppo di automorfismi sarà ciclico, quindi so che $AUT(K)$ ha un unico sottogruppo di ordine $p$ dato che $p|(q-1)$. Quindi è possibile stabilire un unico omomorfismo $phi$ diverso dall'identico, pertanto $G$ risulterà prodotto semidiretto tra $H$ e $K$, che indico con $H(xx)_(phi)K$,mi resta da far veder che è unico a meno di isomorfismi. Avendosi esattamente $q$ in numero $p-$sottogruppi di $G$ e dovendo essere tra loro isomorfi in quanto tutti di ordine $p$ risulterà,indicando con $H^1$, $H^2$, .... $H^q$ tali sottogruppi, i seguenti prodotti semidiretti $G=H^1(xx)_(phi)K$ , $G=H^2(xx)_(phi)K$,....$G=H^q(xx)_(phi)K$, saranno anch'essi tra loro isomorfi ed ho concluso.Un esempio concreto dell'applicazione di tale problema lo si vede nel caso in cui $|G|=6$, in questo caso esistono esaattamente due gruppi tra loro non isomorfi e precisamente il gruppo ciclico $C_6$ , ed il gruppo non abeliano $S_3$ che si realizza come prodotto semidiretto di un sottogruppo ciclico $C_2$ ed il sottogruppo ciclico $C_3$.Un altra osservazione che si può fare è che tali gruppi siffatti possiederanno sicuramente un centro $Z(G)=(e)$.
Sicuramente la soluzione che l'Herstein richiede non é quella da me proposta(ammesso che sia esatta), in quanto faccio uso del concetto di prodotto semidiretto di cui nel libro non c'è traccia, e che facilita molto le cose!
Mi scuso per l'uso non appropriato del simbolo($xx$) per quanto riguarda il prodotto semidiretto e che quindi può creare confusione nell'interpretazione, ma non sono riuscito ad identificare l'esatto comando!
Sperando che qualcuno sia disposto a leggere il contenuto dell'esposto al fine di segnalarne gli eventuali errori e inesattezze che sicuramente ci sono, ringrazio anticipatamente ed invio cordiali saluti!
(b) Se $p$ divide $q-1$, allora esiste un solo gruppo non abeliano di ordine $pq$.
Il quesito (a) si risolve facilmente infatti per il teorema di Sylow il numero dei $p-$sottogruppi distinti deve essere $s_p=1+pk$ ed inoltre deve $s_p|o(G)$ ma ciò implica $k=0$, pertanto avremo un unico $p-$sottogruppo $H$ e quindi normale in $G$. Con un ragionamento perfettamente analogo possiamo affermare che avra un unico $q-$sottogruppo $K$ e quindi anch'esso normale in $G$. Dato che $p$ e $q$ sono primi e distinti, deduco che deve essere $HnnK=(e)$, quindi
risulta il gruppo ciclico $G=HxxK$ cioè prodotto diretto dei due sottogruppi.
Per quanto riguarda il quesito (b) , sicuramente avrò un unico $q-$sottogruppo di Sylow, pertanto normale in $G$, mentre
la condizione $p|(q-1)$ comporta sempre per Sylow ,oltre alla possibilità di avere un unico $p$-sylow e quindi ottenere il Gruppo come prodotto diretto dei due suoi sottogruppi come sopra, devo prendere anche in considerazione il caso in cui avrò esattamente $p$-sottogruppi distinti in numero di $q$. Nessuno di tali $p$ sottogruppi potrà ovviamente risultare normale in $G$ in quanto diversamente $G$ risulterebbe ciclico, e quindi avrebbe un unico $p$-sottogruppo in contrasto con Sylow. Indicando genericamente uno dei $p$-sottogruppi con $H$ ed l'unico $q$-sottogruppo con $K$,in questo ultimo caso si determineranno le seguenti condizioni: $G=HK$ cioè ogni elemento di $G$ deve potersi scrivere come $hk$ con $hinH$ e $kinK$(gli elementi $hk$ sono distinti), $HnnK=(e)$, ed il sottogruppo $K$ normale in $G$,quindi se esiste un gruppo $G$ siffatto deve potersi realizzare completamente come prodotto semidiretto tra $H$ e $K$ secondo un omorfismo strutturale
$phi$ di $H ->AUT(K)$ che non può essere l'identico in quanto comporterebbe abelianità e quindi il prodotto diretto tra $H$ e $K$ . Adesso sapendo che essendo $o(K)=q$ con $q$ primo risulta $|AUT(K)|=q-1$ ed inoltre tale gruppo di automorfismi sarà ciclico, quindi so che $AUT(K)$ ha un unico sottogruppo di ordine $p$ dato che $p|(q-1)$. Quindi è possibile stabilire un unico omomorfismo $phi$ diverso dall'identico, pertanto $G$ risulterà prodotto semidiretto tra $H$ e $K$, che indico con $H(xx)_(phi)K$,mi resta da far veder che è unico a meno di isomorfismi. Avendosi esattamente $q$ in numero $p-$sottogruppi di $G$ e dovendo essere tra loro isomorfi in quanto tutti di ordine $p$ risulterà,indicando con $H^1$, $H^2$, .... $H^q$ tali sottogruppi, i seguenti prodotti semidiretti $G=H^1(xx)_(phi)K$ , $G=H^2(xx)_(phi)K$,....$G=H^q(xx)_(phi)K$, saranno anch'essi tra loro isomorfi ed ho concluso.Un esempio concreto dell'applicazione di tale problema lo si vede nel caso in cui $|G|=6$, in questo caso esistono esaattamente due gruppi tra loro non isomorfi e precisamente il gruppo ciclico $C_6$ , ed il gruppo non abeliano $S_3$ che si realizza come prodotto semidiretto di un sottogruppo ciclico $C_2$ ed il sottogruppo ciclico $C_3$.Un altra osservazione che si può fare è che tali gruppi siffatti possiederanno sicuramente un centro $Z(G)=(e)$.
Sicuramente la soluzione che l'Herstein richiede non é quella da me proposta(ammesso che sia esatta), in quanto faccio uso del concetto di prodotto semidiretto di cui nel libro non c'è traccia, e che facilita molto le cose!
Mi scuso per l'uso non appropriato del simbolo($xx$) per quanto riguarda il prodotto semidiretto e che quindi può creare confusione nell'interpretazione, ma non sono riuscito ad identificare l'esatto comando!
Sperando che qualcuno sia disposto a leggere il contenuto dell'esposto al fine di segnalarne gli eventuali errori e inesattezze che sicuramente ci sono, ringrazio anticipatamente ed invio cordiali saluti!
Risposte
E' tutto giusto a parte una cosa: non è vero che c'è un unico omomorfismo [tex]H \to \text{Aut}(K)[/tex], dato che puoi mandare un generatore di [tex]H[/tex] in un qualsiasi elemento di ordine [tex]p[/tex] in [tex]\text{Aut}(K)[/tex]. Ma questo non è importante: i diversi modi che hai di immergere [tex]H[/tex] in [tex]\text{Aut}(K)[/tex] danno luogo a prodotti semidiretti isomorfi.
Quando l'omomorfismo [tex]H \to \text{Aut}(K)[/tex] è iniettivo ti puoi pure curare solo della sua immagine.
PS. Il codice per il prodotto semidiretto è \ltimes = [tex]\ltimes[/tex] oppure \rtimes = [tex]\rtimes[/tex].
Quando l'omomorfismo [tex]H \to \text{Aut}(K)[/tex] è iniettivo ti puoi pure curare solo della sua immagine.
PS. Il codice per il prodotto semidiretto è \ltimes = [tex]\ltimes[/tex] oppure \rtimes = [tex]\rtimes[/tex].
Grazie Martino! La tua risposta è come sempre esauriente!
Ho cominciato da poco a familiarizzare col prodotto semidiretto ,argomento per me nuovo, ed all'inizio non nascondo di averlo trovato un pò ostico, in qualche modo comunque avevo intuito che c'entrasse con la soluzione del problema qui postato. Suppongo che la sua definizione sia dovuta alla naturale generalizzazione del concetto di prodotto diretto che
può a sua volta essere visto come caso particolare in cui l'omomorfismo strutturale è quello identico.
Non appena avrò un pò di tempo proverò a postare ancora delle domande sull'argomento, molto interessante , ma che ancora non riesco a capire in pieno.
Ho cominciato da poco a familiarizzare col prodotto semidiretto ,argomento per me nuovo, ed all'inizio non nascondo di averlo trovato un pò ostico, in qualche modo comunque avevo intuito che c'entrasse con la soluzione del problema qui postato. Suppongo che la sua definizione sia dovuta alla naturale generalizzazione del concetto di prodotto diretto che
può a sua volta essere visto come caso particolare in cui l'omomorfismo strutturale è quello identico.
Non appena avrò un pò di tempo proverò a postare ancora delle domande sull'argomento, molto interessante , ma che ancora non riesco a capire in pieno.
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