Prodotto semidiretto
Ciao...volete aiutarmi a risolvere questo esercizio sui prodotti semidiretti?Io ho capito la teoria sui prodotti semidiretti, ma non so metterla in pratica negli esercizi..
!
Sia $\phi$ l'unico omomorfismo suriettivo da $ZZ_4$ ad $Aut(ZZ_3)$. Sia B il prodotto semidiretto [tex]\mathbb{Z}_3 \rtimes \mathbb{Z}_4[/tex] (scuate ma anche scrivendo \rtimes non me lo dà il prodotto semidiretto) associato a $\phi$.
a)Determinare gli elementi di ordine 2 di B
b)Dimostrare che B non è isomorfo al gruppo diedrale $D_6$
Siccome so che $Aut(ZZ_3) ~= ZZ_2$ allora l'unico omomorismo suriettivo è $\phi(1)=1$. E poi? Non so se devo ragionare come quando sono davanti a un prodotto diretto. Altrimenti potrei dire che siccome i gruppi sono additivi in $ZZ_4$ c'è solo il 2 che ha ordine 2, mentre in $ZZ_3$ nessun elemento ha ordine due. Ma non so più continuare...anzi..sono sicura che anche l'ultima cosa che ho detto non sia giusta!Vi ingrazio per l'aiuto...
[xdom="Martino"][*]Per far comparire [tex]\rtimes[/tex] devi usare i tag "tex" e abilitare il BBCode. Ho corretto.[/xdom]
!Sia $\phi$ l'unico omomorfismo suriettivo da $ZZ_4$ ad $Aut(ZZ_3)$. Sia B il prodotto semidiretto [tex]\mathbb{Z}_3 \rtimes \mathbb{Z}_4[/tex] (scuate ma anche scrivendo \rtimes non me lo dà il prodotto semidiretto
b)Dimostrare che B non è isomorfo al gruppo diedrale $D_6$
Siccome so che $Aut(ZZ_3) ~= ZZ_2$ allora l'unico omomorismo suriettivo è $\phi(1)=1$. E poi? Non so se devo ragionare come quando sono davanti a un prodotto diretto. Altrimenti potrei dire che siccome i gruppi sono additivi in $ZZ_4$ c'è solo il 2 che ha ordine 2, mentre in $ZZ_3$ nessun elemento ha ordine due. Ma non so più continuare...anzi..sono sicura che anche l'ultima cosa che ho detto non sia giusta!Vi ingrazio per l'aiuto...
[xdom="Martino"][*]Per far comparire [tex]\rtimes[/tex] devi usare i tag "tex" e abilitare il BBCode. Ho corretto.[/xdom]
Risposte
Grazie Martino. Nessuno può aiutarmi?
Cerco di darti una risposta, prendila con il beneficio d'inventario, in quanto sono solo un profano in materia, spero comunque possa esserti di aiuto!
A quanto ho capito stiamo trattando il seguente gruppo $G=Z_4$ \(\displaystyle \rtimes \)$Z_3$, dove il sottogruppo $Z_3$
è unico pertanto normale in $G$.
Gli omomorfismi $phi$ che vanno da $Z_4$ in $Aut(Z_3)$, possono essere solamente due!
Uno non suriettivo è $phi=(e)$ cioè l'identico ,quello che manda ogni elemento di $Z_4$ nell'automorfismo identico di $Z_3$, in questo caso $G$ risulterebbe il più familiare prodotto diretto $Z_4xxZ_3$, cioè il gruppo ciclico di ordine $12$, ed $Z_4$ risulterebbe anch'esso unico in $G$.
Andiamo all'altro caso che è quello che ci interessa quindi l'omomorfismo suriettivo che va da $Z_4$ in $Aut(Z_3)$;
Indichiamo con $Z_4=$ ed $Z_3=$ i rispettivi gruppi ciclici, rispettivamente di ordine $4$ e di ordine $3$;
facciamo il seguente ragionamento: sarà certamente $phi_a(c)$ $=a^(-1)ca$ $!=c$, in quanto diversamente il gruppo sarebbe abeliano e ritorneremmo al caso $phi=(e)$ descritto sopra che non ci interessa!
Pertanto deve necessariamente essere $phi_a(c)=$ $a^(-1)ca=c^2$ , inoltre sarà di conseguenza $phi_a(c^2)=a^(-1)c^2a=c$.
Ora da qui si determinano le seguenti relazioni:
$ca=ac^2$ ed $c^2a=ac$, che assieme alle già note $a^4=e$, e $c^3=e$ ed in considerazione del fatto che il nostro gruppo $G$ consta degli elementi distinti $e,a,a^2,a^3,c, c^2,(ac),(a^2c),(a^3c),(ac^2),(a^2c^2),(a^3c^2)$ ci permettono di determinare il prodotto e quindi costruire la tavola moltiplicativa(prova!).
In tale tavola moltiplicativa noterai che vi é un solo elemento di ordine $2$, e precisamente l'elemento $a^2$, il gruppo diedrale $D_6$ invece ha esattamente $6$ elementi di ordine $2$, da ciò si deduce che il nostro gruppo $G$ ed il gruppo $D_6$(gruppo delle simmetrie dell'esagono) non possono essere isomorfi!
Spero di non aver commesso errori grossolani, e di esserti di aiuto, in ogni caso apprezza lo sforzo !
A quanto ho capito stiamo trattando il seguente gruppo $G=Z_4$ \(\displaystyle \rtimes \)$Z_3$, dove il sottogruppo $Z_3$
è unico pertanto normale in $G$.
Gli omomorfismi $phi$ che vanno da $Z_4$ in $Aut(Z_3)$, possono essere solamente due!
Uno non suriettivo è $phi=(e)$ cioè l'identico ,quello che manda ogni elemento di $Z_4$ nell'automorfismo identico di $Z_3$, in questo caso $G$ risulterebbe il più familiare prodotto diretto $Z_4xxZ_3$, cioè il gruppo ciclico di ordine $12$, ed $Z_4$ risulterebbe anch'esso unico in $G$.
Andiamo all'altro caso che è quello che ci interessa quindi l'omomorfismo suriettivo che va da $Z_4$ in $Aut(Z_3)$;
Indichiamo con $Z_4=$ ed $Z_3=
facciamo il seguente ragionamento: sarà certamente $phi_a(c)$ $=a^(-1)ca$ $!=c$, in quanto diversamente il gruppo sarebbe abeliano e ritorneremmo al caso $phi=(e)$ descritto sopra che non ci interessa!
Pertanto deve necessariamente essere $phi_a(c)=$ $a^(-1)ca=c^2$ , inoltre sarà di conseguenza $phi_a(c^2)=a^(-1)c^2a=c$.
Ora da qui si determinano le seguenti relazioni:
$ca=ac^2$ ed $c^2a=ac$, che assieme alle già note $a^4=e$, e $c^3=e$ ed in considerazione del fatto che il nostro gruppo $G$ consta degli elementi distinti $e,a,a^2,a^3,c, c^2,(ac),(a^2c),(a^3c),(ac^2),(a^2c^2),(a^3c^2)$ ci permettono di determinare il prodotto e quindi costruire la tavola moltiplicativa(prova!).
In tale tavola moltiplicativa noterai che vi é un solo elemento di ordine $2$, e precisamente l'elemento $a^2$, il gruppo diedrale $D_6$ invece ha esattamente $6$ elementi di ordine $2$, da ciò si deduce che il nostro gruppo $G$ ed il gruppo $D_6$(gruppo delle simmetrie dell'esagono) non possono essere isomorfi!
Spero di non aver commesso errori grossolani, e di esserti di aiuto, in ogni caso apprezza lo sforzo !
Scherzi?Certo che apprezzo...e ho anche capito...
!!Grazie mille...
!!
!!Grazie mille...!!
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