Prodotto non commutativo
volevo chiedervi una mano sul sguente esercizio:
Sia $K$ un campo e sia $\sigma : K \rightarrow K$ un endomorfismo, diciamo $\sigma\not=id$. Si consideri l'anello dei polinomi $R$ nella variabile $x$. Si definisca su $R$ una nuova moltiplicazione ponengo:
$\sum_i a_ix^i # \sum_j b_jx^j = \sum_{i,j}a_i\sigma^i(b_j)x^{i+j}$ (# indica il nuovo prodotto)
In altri termini, la moltiplicazione è definita dall'identità di commutazione (della variabile con gli scalari) $xa=\sigma(a)x$, per ogni $a\in K$
a. Dimostrare che $(R,+,#)$ è un anello unitario non commutativo.
b. provare che tale anello è un dominio.
questo è come ho provato a risolverlo, secondo voi è giusto? e poi cosa vuol dire la frase "In altri termini, la moltiplicazione ..." non sono riuscito a capirlo.
partendo dal punto b: $\sigma^i(b_j),a_i\in K$ che è un campo quindi non ci sono divisori dello zero e quindi: $a_i\cdot\sigma^i(b_j)=0_K\iff a_i=0_K \mbox{ oppure } \sigma^i(b_j)=0$ e siccome $\sigma$ è endomorfismo di campi è ingettivo e quindi $\iff b_j=0$ e quindi R è dominio.
per quanto riguarda il punto a: l'elemento neutro rimane $1_k$ dato che essendo endomorfismo di campi risulta $\sigma(1_K)=1_K$ e mostrare se il nuovo prodotto è commutativo equivale a provare che $a_i\cdot \sigma^i(b_j)=b_j\sigma^j(a_i)$ che sono comuqnue elementi di K quindi esistono gli inversi e quindi risulta
$\frac{\sigma^i(b_j)}{\sigma^j(a_i)}=\frac{b_j}{a_i}$
e da qui in poi non saprei più come continuare
Sia $K$ un campo e sia $\sigma : K \rightarrow K$ un endomorfismo, diciamo $\sigma\not=id$. Si consideri l'anello dei polinomi $R$ nella variabile $x$. Si definisca su $R$ una nuova moltiplicazione ponengo:
$\sum_i a_ix^i # \sum_j b_jx^j = \sum_{i,j}a_i\sigma^i(b_j)x^{i+j}$ (# indica il nuovo prodotto)
In altri termini, la moltiplicazione è definita dall'identità di commutazione (della variabile con gli scalari) $xa=\sigma(a)x$, per ogni $a\in K$
a. Dimostrare che $(R,+,#)$ è un anello unitario non commutativo.
b. provare che tale anello è un dominio.
questo è come ho provato a risolverlo, secondo voi è giusto? e poi cosa vuol dire la frase "In altri termini, la moltiplicazione ..." non sono riuscito a capirlo.
partendo dal punto b: $\sigma^i(b_j),a_i\in K$ che è un campo quindi non ci sono divisori dello zero e quindi: $a_i\cdot\sigma^i(b_j)=0_K\iff a_i=0_K \mbox{ oppure } \sigma^i(b_j)=0$ e siccome $\sigma$ è endomorfismo di campi è ingettivo e quindi $\iff b_j=0$ e quindi R è dominio.
per quanto riguarda il punto a: l'elemento neutro rimane $1_k$ dato che essendo endomorfismo di campi risulta $\sigma(1_K)=1_K$ e mostrare se il nuovo prodotto è commutativo equivale a provare che $a_i\cdot \sigma^i(b_j)=b_j\sigma^j(a_i)$ che sono comuqnue elementi di K quindi esistono gli inversi e quindi risulta
$\frac{\sigma^i(b_j)}{\sigma^j(a_i)}=\frac{b_j}{a_i}$
e da qui in poi non saprei più come continuare
Risposte
scusate non edito il messaggio ma faccio un altro post perchè ho problemi nella visualizzazione mentre scrivo (non riesco a vedere l'ultima riga su cui scrivo e dovrei scrivere alla cieca):
riprendendo dall'ultimo passaggio forse posso portare fuori dalla funzione gli scalari e semplficare e quinid ottengo l'identità $\sigma^i(1_K)=\sigma^j(1_K)$ per ogni i,j
e da qui posso concludere che $\sigma=id$?
riprendendo dall'ultimo passaggio forse posso portare fuori dalla funzione gli scalari e semplficare e quinid ottengo l'identità $\sigma^i(1_K)=\sigma^j(1_K)$ per ogni i,j
e da qui posso concludere che $\sigma=id$?
Con un piccolo pensierino mi è venuto questo, anche se magari data l'ora e il fatto che sono fuori allenamento con queste cose dico baggianate:
[tex]x \diamond ax = \sigma(a)x^2[/tex]
[tex]ax \diamond x = a\sigma(1)x^2 = ax^2[/tex]
Se [tex]\diamond[/tex] fosse commutativo allora [tex]a = \sigma(a)[/tex] per ogni [tex]a\in\mathbb{R}[/tex] e quindi [tex]\sigma = \mathrm{id}[/tex] contro l'ipotesi che [tex]\sigma[/tex] sia qualsiasi.
P.S: Ho cambiato per comodità il simbolo dell'operazione in [tex]\diamond[/tex] perché con latex funzionava in modo strano.
[tex]x \diamond ax = \sigma(a)x^2[/tex]
[tex]ax \diamond x = a\sigma(1)x^2 = ax^2[/tex]
Se [tex]\diamond[/tex] fosse commutativo allora [tex]a = \sigma(a)[/tex] per ogni [tex]a\in\mathbb{R}[/tex] e quindi [tex]\sigma = \mathrm{id}[/tex] contro l'ipotesi che [tex]\sigma[/tex] sia qualsiasi.
P.S: Ho cambiato per comodità il simbolo dell'operazione in [tex]\diamond[/tex] perché con latex funzionava in modo strano.
grazie! effettivamente mi basta cercare un controesempio semplice piuttosto che ragionare con gli indici in generale.. anche perchè penso che non fosse lecito "porrtare fuori gli scalari" come ho fatto io perchè mica sto in un gruppo ciclico e quello è un endomorfismo di campi e non di spazi vettoriali -.-'
comunque rimane aperta la domanda sul significato della frase:
comunque rimane aperta la domanda sul significato della frase:
"drughe":
In altri termini, la moltiplicazione è definita dall'identità di commutazione (della variabile con gli scalari) $xa=\sigma(a)x$, per ogni $a\in K$
"drughe":[/quote]
grazie! effettivamente mi basta cercare un controesempio semplice piuttosto che ragionare con gli indici in generale.. anche perchè penso che non fosse lecito "porrtare fuori gli scalari" come ho fatto io perchè mica sto in un gruppo ciclico e quello è un endomorfismo di campi e non di spazi vettoriali -.-'
comunque rimane aperta la domanda sul significato della frase:
[quote="drughe"]In altri termini, la moltiplicazione è definita dall'identità di commutazione (della variabile con gli scalari) $xa=\sigma(a)x$, per ogni $a\in K$
Probabilmente lo intendevo come controesempio... Io ho usato entrambi con le x ma effettivamente si poteva anche tenere solo $a$...
eh non penso altrimenti sarebbe stato $\sigma^0(a)=id(a)=a$ e quindi per le costanti c'è commutatività
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