Prodotto elementi di un campo finito

[thedarkhero]

Sia $F$ un campo finito e $F^*=F\{0}$. Allora $\prod_{x\inF^*}x=-1$.
Dimostrazione
Considero le coppie ${x,x^-1}$ tali che $x\inF^*$.
Se dimostro che $x*x^-1=1$ in tutti i casi tranne che in uno, e che in quel caso $x*x^-1=-1$ ho finito.
Ma qual'e' questo caso?

[Studente Anonimo]

"thedarkhero":$x*x^-1=-1$

Un elemento moltiplicato per il suo inverso fa sempre 1

Non e' quello il punto.

Il punto e' che i "due" elementi [tex]x,x^{-1}[/tex] possono essere lo stesso elemento.

[gugo82]

"Martino":i "due" elementi [tex]x,x^{-1}[/tex] possono essere lo stesso elemento.

Ad esempio, [tex]$2\cdot 2 =1$[/tex] in [tex]$\mathbb{Z}_3$[/tex], ergo [tex]$2=2^{-1}$[/tex].


Però, se devo essere sincero, non capisco dove si voglia andare a parare... Questi esercizi non fanno per me.

[thedarkhero]

Giusto! Se $x=x^-1$ Allora $x=+-1$. Se $x=1$ allora il prodotto $x*x^-1$ vale 1, se $x=-1$ però il prodotto vale sempre 1. Dov'è il punto?

[claudiamatica]

Il punto è che nel prodotto di tutti gli elementi (che tu vuoi raggruppare in coppie x, 1/x) il -1 lo conti una volta sola, visto che il suo inverso non è un altro elemento, ma lui stesso.

[thedarkhero]

Perfetto, capito! Grazie =)