Prodotto diretto di strutture

[salvozungri]

Ciao a tutti, ho un problema nella comprensione nella definizione di prodotto diretto di strutture che riporto in seguito:

Definizione:
Se [tex]\left\{\mathcal{A}_s\right\}_{s\in S}[/tex] è una famiglia di strutture di tipo [tex]\tau[/tex], il prodotto diretto della famiglia [tex]\displaystyle\mathcal{A}:=\prod_{s\in S}{\mathcal{A}_s}[/tex] è la struttura di tipo [tex]\tau[/tex] così definita:

•[tex]\displaystyle A= \prod_{s\in S}A_s = \left\{g: S\to \bigcup_{s\in S}A_s| g(s)\in A_s \text{ per ogni } s\in S\right\}[/tex]; gli elementi [tex]g\in A[/tex] saranno indicati con \(\)

(Primo problema, non riesco a comprendere com'è fatto il sostegno della [tex]\tau[/tex]-struttura [tex]\mathcal{A}[/tex]).

• Per ogni [tex]i\in I[/tex], se [tex]ar(i)=m[/tex]* e [tex]g_1,\cdots, g_m \in A[/tex] si ha che

[tex]R_{i}^{\mathcal{A}}(g_1,\cdots g_m)[/tex] se e solo se per ogni \(s\in S, R_{i}^{\mathcal{A}_s}(g_1(s),\cdots, g_m(s))\)

• Per ogni [tex]j\in J[/tex], se [tex]ar(j)= n[/tex] e [tex]g_1, \cdots , g_n\in A[/tex],
\(f_{i}^{\mathcal{A}}(g_1, \cdots, g_n)= \in A\) ;

• Per ogni \(k\in K, c_k^{\mathcal{A}}= \in A\)

Come ho già preannunciato non riesco a comprendere questa definizione, proprio perchè non capisco com'è fatto il sostegno , tra l'altro è una definizione fondamentale senza la quale non posso studiare ciò che viene dopo . Mi potreste fare un esempio di prodotto diretto di strutture per favore? vi ringrazio
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*: [tex]ar[/tex] è la funzione arietà, in questo caso sta ad indicare che l'arietà della relazione R è m.

Nota: la definizione è presa dal libro Gabriele Lolli, lezioni di logica matematica pag 18

[salvozungri]

Cerco di essere più chiaro, mi rendo conto che quello che ho scritto può sembrare una successione di simboli senza significato e girando in internet mi sono accorto che le notazioni non sono univoche. A questo punto, è d'obbligo per me scrivere le nozioni di [tex]\tau[/tex]-struttura. Metto in spoiler per non appesantire il 3D

Definizione: Una struttura [tex]\mathcal{A}[/tex] è una quadrupla: [tex]\mathcal{A}:= [/tex]
dove:
• [tex]A[/tex] è un insieme non vuoto detto sostesto o dominio della struttura.
• Se [tex]ar(j)= n[/tex] per ogni [tex]j\in J[/tex], [tex]f_j^{\mathcal{A}[/tex] è un simbolo di funzione [tex]n-aria[/tex]:
[tex]f_j^{\mathcal{A}}:A^n\to A[/tex].
• Se [tex]ar(i)= m[/tex] per ogni [tex]i\in I[/tex], [tex]R_i^{\mathcal{A}[/tex] è un simbolo di relazione [tex]m-aria[/tex].
• [tex]\forall k\in K,\quad c_k^\mathcal{A}[/tex] è il simbolo di costante o elemento scelto.

Alla struttura appena definita viene associato il tipo di similarità [tex]\tau[/tex], cioè la quadrupla
[tex]\tau:=[/tex], in cui: [tex]I, J, K[/tex] sono tre insiemi di indici, a due a due disgiunti, eventualmente vuoti. La funzione [tex]ar[/tex] è detta funzione arietà ed è tale che:
[tex]ar: I\cup J\to \mathbb{N}[/tex].

In particolare se [tex]I= \emptyset[/tex], allora [tex]\mathcal{A}[/tex] è detta struttura algebrica, se invece [tex]J=\emptyset[/tex], allora la struttura è relazionale.

Ecco un esempio di struttura:

L'insieme [tex]\mathcal{R}= <\mathbb{R}, *, 1>[/tex] è una struttura, in questo caso:
•[tex]\mathbb{R}[/tex] è il sostegno
•[tex]*:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to \mathbb{R}[/tex] è una operazione binaria.
•[tex]1[/tex] è una costante, è l'elemento neutro dell'operazione definita su [tex]\mathcal{R}[/tex].
Non abbiamo relazioni definite su di essa quindi posso asserire che la struttura è di tipo algebrico, in particolare essa è un gruppo.

Bene ragazzi, io stavo pensando che come esempio di prodotto diretto di [tex]\tau[/tex]-strutture può essere ad esempio il prodotto di gruppi,
assodato questo il problema è proprio la definizione del sostegno del prodotto diretto, ho capito che quest'ultimo è costituito da funzioni che associano ad ogni elemento S un elemento [tex]g(s)\in A_s[/tex], non vorrei dire una scemenza, ma per caso g è una proiezione?

[Edit]: Ho capito qual è il mio problema, non conosco il significato di prodotto cartesiano generalizzato, wikipeggiando un po' ho trovato questo qualcuno mi può dare delucidazioni, vi ringrazio

[dissonance]

Se hai una famiglia [tex]\{ X_{\alpha} \}_{\alpha \in J}[/tex] di insiemi, e [tex]J=\{1, 2, ...n\}[/tex], il loro prodotto cartesiano è l'insieme delle n-uple [tex](x_1, x_2, ..., x_n)[/tex], dove ogni [tex]x_i[/tex] appartiene ad [tex]X_i[/tex]. Se esprimi questa n-upla come [tex](x_\alpha)_{\alpha\in J}[/tex] sei pronto a generalizzare ad un insieme [tex]J[/tex] qualunque:

[tex]\displaymath \Pi_{\alpha \in J} X_{\alpha}=\{x\colon J \to \bigcup_{\alpha \in J} X_{\alpha} \mid x(\alpha)\in X_\alpha \}[/tex]

per definizione; ti accorgi che coincide con quanto scritto sopra se invece di [tex]x(\alpha)[/tex] scrivi [tex]x_\alpha[/tex] e invece di [tex]x \colon J \to \bigcup_{\alpha \in J} X_{\alpha}[/tex] scrivi [tex](x_\alpha)_{\alpha \in J}[/tex].

[salvozungri]

Ti ringrazio dissonance , ho capito! E' incredibile quanto io sia chiuso nei confronti di questa materia .