Prodotto cartesiano
Sia $emptyset$ l'insieme vuoto e sia $A$ un insieme non vuoto: è possibile definire $Axemptyset$, cioè il prodotto cartesiano tra $A$ e $emptyset$?
In seconda battuta, è possibile definire $emptysetxemptyset$?
Per quello che può valere, io ho pensato che in entrambi i casi si può definire il prodotto cartesiano come $emptyset$, cioè: $Axemptyset=emptyset$ e $emptysetxemptyset=emptyset$.
Voi che ne dite?
EDIT: ho corretto l'erroraccio segnalato da Fioravante Patrone così evito l'affondamento mediante cemento
In seconda battuta, è possibile definire $emptysetxemptyset$?
Per quello che può valere, io ho pensato che in entrambi i casi si può definire il prodotto cartesiano come $emptyset$, cioè: $Axemptyset=emptyset$ e $emptysetxemptyset=emptyset$.
Voi che ne dite?
EDIT: ho corretto l'erroraccio segnalato da Fioravante Patrone così evito l'affondamento mediante cemento
Risposte
io dico che ti sostengo in questa definizione.
"WiZaRd":
Dualmente, è possibile definire $emptysetxemptyset$?
"Dualmente"????
Attento a come parli, ragazzo! Qui uno viene fatto sparire in fondo all'Hudson per molto meno. Il cemento abbonda
Ho corretto la min****ta che avevo precedentemente scritto.
Adesso mi dite se è una min****ta pure quella sul prodottoo cartesiano?
Grazie
Adesso mi dite se è una min****ta pure quella sul prodottoo cartesiano?
Grazie
Ciao!
C'è una definizione di prodotto cartesiano che si adatta anche al caso in cui uno dei fattori è vuoto:
Si definisce prodotto cartesiano della famiglia $\{A_i\}_{i \in I}$ l'insieme delle funzioni $f: I \to \bigcup_{i \in I}A_i$ tali che $f(i) \in A_i$ per ogni $i \in I$. Per esempio il prodotto cartesiano $A_1 \times A_2$ è l'insieme delle funzioni $f:\{1,2\} \to A_1 \cup A_2$ tali che $f(1) \in A_1$ e $f(2) \in A_2$. Una tale funzione manderà 1 in $a_1 \in A_1$, 2 in $a_2 \in A_2$, quindi essa si identifica con la "coppia" $(a_1,a_2)$.
Ora il prodotto cartesiano $emptyset \times A$ sarà l'insieme delle funzioni $f: \{1,2\} \to \emptyset \cup A = A$ tali che $f(1) \in \emptyset$ e $f(2) \in A$. Ovviamente la condizione "$f(1) \in \emptyset$" non è mai verificata, quindi $\emptyset \times A = \emptyset$.
Tra l'altro dalla definizione di cui sopra discende che $\emptyset \in \prod_{i \in \emptyset}A_i$.
C'è una definizione di prodotto cartesiano che si adatta anche al caso in cui uno dei fattori è vuoto:
Si definisce prodotto cartesiano della famiglia $\{A_i\}_{i \in I}$ l'insieme delle funzioni $f: I \to \bigcup_{i \in I}A_i$ tali che $f(i) \in A_i$ per ogni $i \in I$. Per esempio il prodotto cartesiano $A_1 \times A_2$ è l'insieme delle funzioni $f:\{1,2\} \to A_1 \cup A_2$ tali che $f(1) \in A_1$ e $f(2) \in A_2$. Una tale funzione manderà 1 in $a_1 \in A_1$, 2 in $a_2 \in A_2$, quindi essa si identifica con la "coppia" $(a_1,a_2)$.
Ora il prodotto cartesiano $emptyset \times A$ sarà l'insieme delle funzioni $f: \{1,2\} \to \emptyset \cup A = A$ tali che $f(1) \in \emptyset$ e $f(2) \in A$. Ovviamente la condizione "$f(1) \in \emptyset$" non è mai verificata, quindi $\emptyset \times A = \emptyset$.
Tra l'altro dalla definizione di cui sopra discende che $\emptyset \in \prod_{i \in \emptyset}A_i$.
la roba sul prodotto cartesiano è ok
il mio intervento mafioso riguardava l'uso improprio di un termine (se non capiamo il linguaggio dei nostri pizzini siamo finiti)
l'idea di dualità è importante e pervasiva in matematica
per questo motivo ho voluto segnalare con adeguato clamore un riferimento improprio a quell'ambito di idee
il passaggio dal caso $Axemptyset$, con $A$ un insieme non vuoto, al caso $emptysetxemptyset$ può essere considerato, che so, come una estensione, una generalizzazione, come domandarsi se si possa togliere una restrizione inutile, e via di fantasia
ma non vedo cosa abbia a che fare con una idea di dualità
il mio intervento mafioso riguardava l'uso improprio di un termine (se non capiamo il linguaggio dei nostri pizzini siamo finiti)
l'idea di dualità è importante e pervasiva in matematica
per questo motivo ho voluto segnalare con adeguato clamore un riferimento improprio a quell'ambito di idee
il passaggio dal caso $Axemptyset$, con $A$ un insieme non vuoto, al caso $emptysetxemptyset$ può essere considerato, che so, come una estensione, una generalizzazione, come domandarsi se si possa togliere una restrizione inutile, e via di fantasia
ma non vedo cosa abbia a che fare con una idea di dualità
Ringrazio Martino per la formalizzazione e Fioravante Patrone per la risposta positiva.
P.S. per Fioravante Patrone; non ti preoccupare, lo so che il tuo tono è un tono scherzoso che tende a mettere maggiormete in risalto gli errori così la prossima volta che provo a sparare questa min****ta mi ricordo dell'Hudson . Comunque, avevo usato "dualmente" perchè non sapevo che avesse un significato preciso in ambito matematico. Chiedo scusa a quanti hanno avuto dei mancamenti o dei bruciori gastrici nel leggere il mio post "fresco di stampa". 
P.S. per Fioravante Patrone; non ti preoccupare, lo so che il tuo tono è un tono scherzoso che tende a mettere maggiormete in risalto gli errori così la prossima volta che provo a sparare questa min****ta mi ricordo dell'Hudson
. Comunque, avevo usato "dualmente" perchè non sapevo che avesse un significato preciso in ambito matematico. Chiedo scusa a quanti hanno avuto dei mancamenti o dei bruciori gastrici nel leggere il mio post "fresco di stampa".
Bravo Wizard non è banale che una matricola si chieda già queste cose...
Allora, come dice martino, il prodotto cartesiano $A_1 times A_2$ è l'insieme delle funzioni $f:{1,2} to A_1 UU A_2$ tali che $f(1) in A_1 ^^ f(2) in A_2$. Ora, se uno solo dei due insiemi è vuoto come dice martino ottieni l'insieme vuoto.
Se invece sono entrambi vuoti devi trovare le funzioni $f:{1,2} to O/$, a codominio vuoto.
Ricordi questo bellissimo topic?
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?p=165368
qui sviscerai il concetto di funzione. In particolare l'insieme vuoto è una funzione (insieme di coppie che...) e l'unica funzione che ha codominio vuoto è l'insieme vuoto. Perciò l'insieme vuoto è una funzione tra ${1,2}$ e $O\$, perciò $O\ times O\ = {O\} = 1$
Allora, come dice martino, il prodotto cartesiano $A_1 times A_2$ è l'insieme delle funzioni $f:{1,2} to A_1 UU A_2$ tali che $f(1) in A_1 ^^ f(2) in A_2$. Ora, se uno solo dei due insiemi è vuoto come dice martino ottieni l'insieme vuoto.
Se invece sono entrambi vuoti devi trovare le funzioni $f:{1,2} to O/$, a codominio vuoto.
Ricordi questo bellissimo topic?
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?p=165368
qui sviscerai il concetto di funzione. In particolare l'insieme vuoto è una funzione (insieme di coppie che...) e l'unica funzione che ha codominio vuoto è l'insieme vuoto. Perciò l'insieme vuoto è una funzione tra ${1,2}$ e $O\$, perciò $O\ times O\ = {O\} = 1$
"zorn":
Perciò l'insieme vuoto è una funzione tra ${1,2}$ e $O/$, perciò $O/ times O/ = {O/} = 1$
Perdona la mia ristrettezza mentale, ma non mi è chiaro questo passaggio: che cosa vuoi dire con $emptyset times emptyset = {emptyset}=1$?
Voi dire che il prodotto cartesiano dell'insieme vuoto per se stesso è l'insieme che contine l'insieme vuoto? Perchè poi $=1$?
Spulciando su internet ho trovato questi pdf ai seguenti indirizzi
"http://www.apav.it/corsi0506/vicecontegeometriarieti/teoriadegliinsiemi(parteprima).pdf"
"http://www.pernigo.com/math/insiemi/Insiemistica.pdf"
nei quali si pone $emptyset times emptyset = emptyset$, e ho imparato (su questo forum) che $emptyset != {emptyset}$...sono leggermente confuso
Chiedo scusa se sono ripetitivo nelle mie domande.
Inoltre prendendo spunto da quanto ha detto Martino, bisogna trovare l'insieme delle $f$ di $f:{1,2} to emptyset cup emptyset=emptyset$ tali che $f(1) in emptyset$ e $f(2) in emptyset$ e poichè le due condizioni non sono mai verificate è $emptyset times emptyset= emptyset$.
Ma tu hai scritto che $emptyset times emptyset={emptyset}=1$.
Mi spieghi dove sbaglio e cosa vuoi dire con $emptyset times emptyset={emptyset}=1$ in particolare con quell'$=1$?
Ma tu hai scritto che $emptyset times emptyset={emptyset}=1$.
Mi spieghi dove sbaglio e cosa vuoi dire con $emptyset times emptyset={emptyset}=1$ in particolare con quell'$=1$?
Pensandoci hai ragione, è $0^0=O\ ^ O\={O\}=1$, mentre $X^0=0$ dev'essere vuoto anche il dominio per essere la funzione insieme vuoto e in quel caso non è. Ok hai ragione ma te lo ricordi quel topic?
Certo. Ogni tanto me li vado a rivedere tutti i topic...sai com'è: tengo mappata la giornata con una funzione che ad ogni orario associa un dubbio
P.S.: quindi è $emptyset x emptyset = emptyset$???
P.S.: quindi è $emptyset x emptyset = emptyset$???
Sì (sto cretino non mi fa bene il vuoto ma si mette O/ ?)
Lo puoi fare in due modi:
1) \$emptyset\$ : $emptyset$
2) \$O/\$: $O/$
io uso il primo, me lo ricordo più facilmente
1) \$emptyset\$ : $emptyset$
2) \$O/\$: $O/$
io uso il primo, me lo ricordo più facilmente
Come sempre, grazie a tutti per i chiarimenti e la disponibilità, e buona notte.
Aggiungo solo una cosa: tornando a quello che ho detto prima, si ottiene tra le altre cose che l'insieme $\prod_{i \in \emptyset}\emptyset$ non è vuoto, contenendo l'insieme vuoto come elemento
quindi, e scusate la bestialità, l'insieme $emptyset$ contiene(anche secondo il suo insieme delle parti) almeno se stesso, giusto?
no
se contenesse se stesso non sarebbe vuoto...
$\emptyset \subseteq \emptyset$ è vero
$\emptyset \in \emptyset$ è falso
se contenesse se stesso non sarebbe vuoto...
$\emptyset \subseteq \emptyset$ è vero
$\emptyset \in \emptyset$ è falso
"Fioravante Patrone":
no
se contenesse se stesso non sarebbe vuoto...
$\emptyset \subseteq \emptyset$ è vero
$\emptyset \in \emptyset$ è falso
tnk per la chiarificazione
vale che $\emptyset\sube\emptyset$ ma $\emptyset!in\emptyset$... ciao
@miuemia:
troppo lento! (lenta? lenti?)
troppo lento! (lenta? lenti?)
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