Prodotti semidiretti di gruppi
Salve a tutti,
Prima di fare la domanda vera e propria vorrei che mi aiutaste a capire se ho capito bene delle cose.
Dunque: L'azione di coniugio del gruppo $Aut(G)$ sull'insieme $X:={H\subseteq G| H
I sottogruppi appartenenti ad una stessa orbita sono tutti tra loro isomorfi tra loro (anche se è però possibile trovare gruppi tra loro isomorfi anche in orbite distinte).
Ora vengo alla domanda:
Ho un gruppo $|G|=p^3$. So che esistono un sottogruppo $|H|=p^2$ ed un sottogruppo $|K|=p$.
So che $H$ è normale perchè è caratteristico in $G$ per motivi di ordine. Se mi metto nel caso che $H$ non sia ciclico, so che $|Aut(H)|=|GL_2(\mathbb{F}_p)|=(p^2-1)(p^2-p)$.
Dunque ho che $|K| | |Aut(H)| $, perciò posso dire che esiste sicuramente un omomorfismo non banale $\varphi :K \rightarrow Aut(H)$ tale che $\varphi: k \mapsto \varphi_k$ in modo che $o(\varphi_k)|o(k)$, dove $o(k)\in{1,p}$.
Ora a $k$ di ordine $p$ voglio assegnare un $\varphi_k$ di ordine $p$. Ma c'è più di un sottogruppo di $Aut(H)$ che ha ordine $p$. Da quanto ho capito,non tutti questi sottogruppi sono caratteristici.
Vi chiedo:
è vero che per ogni classe coniugata di sottogruppi di ordine $p$ è associato un unico (a meno di isomorfismo) prodotto semidiretto diverso per ogni classe coniugata?(Questo è quello che io ho capito)
Scusate la lunghezza e grazie a tutti.
Prima di fare la domanda vera e propria vorrei che mi aiutaste a capire se ho capito bene delle cose.
Dunque: L'azione di coniugio del gruppo $Aut(G)$ sull'insieme $X:={H\subseteq G| H
I sottogruppi appartenenti ad una stessa orbita sono tutti tra loro isomorfi tra loro (anche se è però possibile trovare gruppi tra loro isomorfi anche in orbite distinte).
Ora vengo alla domanda:
Ho un gruppo $|G|=p^3$. So che esistono un sottogruppo $|H|=p^2$ ed un sottogruppo $|K|=p$.
So che $H$ è normale perchè è caratteristico in $G$ per motivi di ordine. Se mi metto nel caso che $H$ non sia ciclico, so che $|Aut(H)|=|GL_2(\mathbb{F}_p)|=(p^2-1)(p^2-p)$.
Dunque ho che $|K| | |Aut(H)| $, perciò posso dire che esiste sicuramente un omomorfismo non banale $\varphi :K \rightarrow Aut(H)$ tale che $\varphi: k \mapsto \varphi_k$ in modo che $o(\varphi_k)|o(k)$, dove $o(k)\in{1,p}$.
Ora a $k$ di ordine $p$ voglio assegnare un $\varphi_k$ di ordine $p$. Ma c'è più di un sottogruppo di $Aut(H)$ che ha ordine $p$. Da quanto ho capito,non tutti questi sottogruppi sono caratteristici.
Vi chiedo:
è vero che per ogni classe coniugata di sottogruppi di ordine $p$ è associato un unico (a meno di isomorfismo) prodotto semidiretto diverso per ogni classe coniugata?(Questo è quello che io ho capito)
Scusate la lunghezza e grazie a tutti.
Risposte
Praticamente stai chiedendo quante azioni per automorfismo non banali e non equivalenti ci sono di $C_p$ su $C_p \times C_p$. Direi che ce n'è solo una perché i sottogruppi di $GL_2(p)$ di ordine $p$ sono coniugati (sono sottogruppi di Sylow).
"Martino":
Direi che ce n'è solo una perché i sottogruppi di $GL_2(p)$ di ordine $p$ sono coniugati (sono sottogruppi di Sylow).
Ma nel caso in cui i sottogruppi di ordine $p$ di $GL_2(\mathbb{F}_p)$ non fossero tutti coniugati (per assurdo) allora potrei dire che ogni classe indurrebbe un prodotto semidiretto diverso (per ogni classe di coniugio)?
No, dovresti indagare i vari casi.
"Martino":
No, dovresti indagare i vari casi.
Scusami se insisto. Quindi ricapitolando, mi stai dicendo che esistono classi coniugate distinte che inducono (nel senso di cui sopra) lo stesso prodotto semidiretto...
Solo per sapere se ho capito bene.
Ps: devo ancora arrivarci alla parte di Sylow, perciò perdonami le eventuali cavolate. È il numero di sottogruppi di Sylow non coniugati di ordine $p$ (in questo caso) che determina il numero di prodotti semidiretti? E se sì, se non ti scoccia, mi potresti spiegare solo l'idea del perché con i soli sottogruppi non coniugati non funziona? Se è lungo da spiegare e ti scoccia, mi dai almeno un riferimento se puoi? Grazie in anticipo.
Ma no 
sto semplicemente dicendo che il coniugio in $GL_2(p)$ induce un isomorfismo dei prodotti semidiretti. Non sto dicendo che se non c'è il coniugio non c'è l'isomorfismo. L'isomorfismo ci può essere senza che ci sia il coniugio, cioè può essere un isomorfismo non indotto da un coniugio.
Praticamente sto dicendo questo: se $\langle h \rangle$ è un sottogruppo di $GL_2(p)$ di ordine $p$ allora ogni altro sottogruppo di $GL_2(p)$ di ordine $p$ è del tipo $\langle h^a \rangle$ dove $h^a = a^{-1}ha$ e $a \in GL_2(p)$ (perché i sottogruppi di $GL_2(p)$ di ordine $p$ sono tutti coniugati - sono sottogruppi di Sylow).
Ora tu hai $V = C_p \times C_p = \mathbb{F}_p^2$ e consideri i due prodotti semidiretti [tex]V \rtimes \langle h \rangle[/tex] e [tex]V \rtimes \langle h^a \rangle[/tex]. Vuoi mostrare che sono isomorfi.
Costruisci [tex]\varphi: V \rtimes \langle h \rangle \to V \rtimes \langle h^a \rangle[/tex] mandando $vh$ in $v^a h^a$, dove $h^a$ come sopra è $a^{-1}ha$ mentre $v^a$ è semplicemente l'immagine di $v$ tramite l'isomorfismo lineare $a:V \to V$. Non è difficile mostrare che $\varphi$ è un isomorfismo di gruppi.
sto semplicemente dicendo che il coniugio in $GL_2(p)$ induce un isomorfismo dei prodotti semidiretti. Non sto dicendo che se non c'è il coniugio non c'è l'isomorfismo. L'isomorfismo ci può essere senza che ci sia il coniugio, cioè può essere un isomorfismo non indotto da un coniugio.Praticamente sto dicendo questo: se $\langle h \rangle$ è un sottogruppo di $GL_2(p)$ di ordine $p$ allora ogni altro sottogruppo di $GL_2(p)$ di ordine $p$ è del tipo $\langle h^a \rangle$ dove $h^a = a^{-1}ha$ e $a \in GL_2(p)$ (perché i sottogruppi di $GL_2(p)$ di ordine $p$ sono tutti coniugati - sono sottogruppi di Sylow).
Ora tu hai $V = C_p \times C_p = \mathbb{F}_p^2$ e consideri i due prodotti semidiretti [tex]V \rtimes \langle h \rangle[/tex] e [tex]V \rtimes \langle h^a \rangle[/tex]. Vuoi mostrare che sono isomorfi.
Costruisci [tex]\varphi: V \rtimes \langle h \rangle \to V \rtimes \langle h^a \rangle[/tex] mandando $vh$ in $v^a h^a$, dove $h^a$ come sopra è $a^{-1}ha$ mentre $v^a$ è semplicemente l'immagine di $v$ tramite l'isomorfismo lineare $a:V \to V$. Non è difficile mostrare che $\varphi$ è un isomorfismo di gruppi.
Quindi, nel caso specifico in cui l'azione è quella del coniugio, avendo dimostrato che c'è un'unica classe coniugata di ordine $p$, ho un solo prodotto semidiretto a meno di isomorfismo...
Se ci fossero state due classi coniugate distinte di ordine $p$, sempre con l'azione di coniugio, ognuna di esse mi avrebbe dato un prodotto semidiretto diverso giusto?
Poi magari per un'azione diversa le cose sarebbero state diverse... Tutti i discorsi che si possono fare sono per una azione fissata a priori.
PS: quando mi viene chiesto di classificare, se esistono, i gruppi non abeliani di un certo ordine finito, qual è l'azione che devo considerare per trovare un isomorfismo con un prodotto diretto? Io vedo che di solito si usa il coniugio, ma non capisco perché ci si possa accontentare di quello dato che dipende dall'azione scelta...
Se ci fossero state due classi coniugate distinte di ordine $p$, sempre con l'azione di coniugio, ognuna di esse mi avrebbe dato un prodotto semidiretto diverso giusto?
Poi magari per un'azione diversa le cose sarebbero state diverse... Tutti i discorsi che si possono fare sono per una azione fissata a priori.
PS: quando mi viene chiesto di classificare, se esistono, i gruppi non abeliani di un certo ordine finito, qual è l'azione che devo considerare per trovare un isomorfismo con un prodotto diretto? Io vedo che di solito si usa il coniugio, ma non capisco perché ci si possa accontentare di quello dato che dipende dall'azione scelta...
"Isaac888":Sbagliato. Calma. Quello che sai è che il coniugio induce un isomorfismo dei prodotti semidiretti. Se hai due classi di coniugio di sottogruppi di ordine p allora per capire se I rispettivi prodotti semidiretti sono isomorfi devi studiarli indipendentemente.
Se ci fossero state due classi coniugate distinte di ordine $p$, sempre con l'azione di coniugio, ognuna di esse mi avrebbe dato un prodotto semidiretto diverso giusto?
Ripeto che se hai il coniugio hai l'isomorfismo, se invece non hai il coniugio non sai niente a priori.
PS: quando mi viene chiesto di classificare, se esistono, i gruppi non abeliani di un certo ordine finito, qual è l'azione che devo considerare per trovare un isomorfismo con un prodotto diretto? Io vedo che di solito si usa il coniugio, ma non capisco perché ci si possa accontentare di quello dato che dipende dall'azione scelta...Non capisco la domanda, non puoi fare un esempio?
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