Prodotti semidiretti
Ho un ultimo dubbio, poi credo di essere pronto, forse :S
Devo risolvere un esercizio del genere:
Partendo da $AutC_(2^n)$, trovare gli automorfismi $\sigma$di ordine 2 (con $n>=3$) e costruire i relativi prodotti semidiretti $ C_2 prop_y C_(2^n) $ , dove $y$ è una applicazione di $C_2$ in $<\sigma>$.
Potete guidarmi verso la soluzione?.
Volevo iniziare così: so che un gruppo ciclico d'ordine $2^n$ è isomorfo ad un gruppo ciclico d'ordine 2 per un gruppo ciclico d'ordine $2^(n-2)$.
Se questo è il passo da cui iniziare potete dirmelo? vi prego di non andare avanti, voglio provare a risolverlo da solo.
Se è questo il primo passo inserisco il passo successivo.
Devo risolvere un esercizio del genere:
Partendo da $AutC_(2^n)$, trovare gli automorfismi $\sigma$di ordine 2 (con $n>=3$) e costruire i relativi prodotti semidiretti $ C_2 prop_y C_(2^n) $ , dove $y$ è una applicazione di $C_2$ in $<\sigma>$.
Potete guidarmi verso la soluzione?.
Volevo iniziare così: so che un gruppo ciclico d'ordine $2^n$ è isomorfo ad un gruppo ciclico d'ordine 2 per un gruppo ciclico d'ordine $2^(n-2)$.
Se questo è il passo da cui iniziare potete dirmelo? vi prego di non andare avanti, voglio provare a risolverlo da solo.
Se è questo il primo passo inserisco il passo successivo.
Risposte
"biggest":No, probabilmente ti confondi col gruppo degli automorfismi. [tex]C_{2^n}[/tex] non e' isomorfo a [tex]C_2 \times C_{2^{n-1}}[/tex] (prova a pensarci). Hai guardato qui? (Lo spoiler).
so che un gruppo ciclico d'ordine $2^n$ è isomorfo ad un gruppo ciclico d'ordine 2 per un gruppo ciclico d'ordine $2^(n-2)$.
Si, scusami, volevo dire che l'automorfo del gruppo ciclico è isomorfo a ... (avevo inserito anche i teoremi rotman, passman); anche perchè so che i gruppi ciclici d'ordine n sono isomorfi a $Z_n$.
Quindi dovrei partire dal gruppo moltiplicativo degli elementi invertibili di $Z_(2^n)$?.
Riguardo al loro numero so che sono dati dalla funzione di eulero:
$\phi(2^n)=2^(n-1)$, è giusto?
Quindi dovrei partire dal gruppo moltiplicativo degli elementi invertibili di $Z_(2^n)$?.
Riguardo al loro numero so che sono dati dalla funzione di eulero:
$\phi(2^n)=2^(n-1)$, è giusto?
I'm all out of idea!!!!...break ice.
Ehm... Hai letto quello che c'e' scritto nel rimando che ti ho segnalato?
Tu sai che se [tex]n \geq 3[/tex] allora [tex]\text{Aut}(\mathbb{Z}_{2^n}) \cong C_2 \times C_{2^{n-2}}[/tex] (dove [tex]C_2[/tex] e' generato da [tex]x \mapsto -x[/tex], mentre [tex]C_{2^{n-2}}[/tex] e' generato da [tex]x \mapsto 3x[/tex]).
Quindi si tratta di trovare gli elementi di ordine [tex]2[/tex] nel gruppo [tex]C_2 \times C_{2^{n-2}}[/tex].
Tu sai che se [tex]n \geq 3[/tex] allora [tex]\text{Aut}(\mathbb{Z}_{2^n}) \cong C_2 \times C_{2^{n-2}}[/tex] (dove [tex]C_2[/tex] e' generato da [tex]x \mapsto -x[/tex], mentre [tex]C_{2^{n-2}}[/tex] e' generato da [tex]x \mapsto 3x[/tex]).
Quindi si tratta di trovare gli elementi di ordine [tex]2[/tex] nel gruppo [tex]C_2 \times C_{2^{n-2}}[/tex].
Scusa, potresti darmi un link in cui si spiega come risolvere questa tipologia di esercizi o da cui posso prendere spunto?
Ma... non c'e' niente da risolvere! 
Un prodotto semidiretto [tex]C_{2^n} \rtimes \langle \sigma \rangle[/tex] e' completamente determinato una volta che scegli [tex]\sigma \in \text{Aut}(C_{2^n})[/tex].
Forse vuoi dire che non sai trovare gli elementi di ordine [tex]2[/tex] in [tex]C_2 \times C_{2^{n-2}}[/tex]? Ma e' facile, prova a pensarci!
Un prodotto semidiretto [tex]C_{2^n} \rtimes \langle \sigma \rangle[/tex] e' completamente determinato una volta che scegli [tex]\sigma \in \text{Aut}(C_{2^n})[/tex].
Forse vuoi dire che non sai trovare gli elementi di ordine [tex]2[/tex] in [tex]C_2 \times C_{2^{n-2}}[/tex]? Ma e' facile, prova a pensarci!
Psso utilizzare il fatto che un l'ordine di un automorfismo è il più piccolo intero m tale che$k^m=1modn$? Quindi nel mio caso sarebbe:
$k^2-1$ multiplo di $2^n$?
$k^2-1$ multiplo di $2^n$?
Davvero, non capisco cosa stai dicendo.
So che un automorfismo di un gruppo ciclico d'ordine n generato da a è del tipo:
$\alpha (a)=a^k$.
L'ordine di $\alpha$ è il più piccolo numero intero $m$ tale che $k^m =1modn$.
Ora io devo trovare tutti gli automorfi di ordine 2 , quindi devo imporre $m=2$; ma sono in un gruppo ciclico d'ordine $2^n$, quindi:
$k^2=1mod2^n$?
$\alpha (a)=a^k$.
L'ordine di $\alpha$ è il più piccolo numero intero $m$ tale che $k^m =1modn$.
Ora io devo trovare tutti gli automorfi di ordine 2 , quindi devo imporre $m=2$; ma sono in un gruppo ciclico d'ordine $2^n$, quindi:
$k^2=1mod2^n$?
Sì, devi risolvere la congruenza [tex]k^2 \equiv 1 \mod(2^n)[/tex], e le soluzioni corrisponderanno agli elementi di ordine [tex]2[/tex] in [tex]\text{Aut}(C_{2^n})[/tex]. Ma a priori non è evidente come risolvere questa congruenza (almeno così mi pare, forse mi sbaglio).
Tirando le somme, tu sai che [tex]\text{Aut}(C_{2^n}) \cong (\mathbb{Z}_{2^n})^{\times}[/tex] tramite la corrispondenza di cui parli (quest'ultimo è il gruppo degli elementi invertibili dell'anello [tex]\mathbb{Z}_{2^n}[/tex]). Ora, tu sai già (l'hai detto all'inizio) che [tex](\mathbb{Z}_{2^n})^{\times}[/tex] è del tipo [tex]C_2 \times C_{2^{n-2}}[/tex] (questa non è una cosa evidente, ti conviene usarla!). Più esplicitamente, hai che
[tex](\mathbb{Z}_{2^n})^{\times} = \langle 3+2^n\mathbb{Z} \rangle \times \langle -1 + 2^n\mathbb{Z} \rangle[/tex].
Qui [tex]3[/tex] ha ordine [tex]2^{n-2}[/tex] modulo [tex]2^n \mathbb{Z}[/tex]. Riesci a vedere quali sono i tre elementi di ordine due?
Tirando le somme, tu sai che [tex]\text{Aut}(C_{2^n}) \cong (\mathbb{Z}_{2^n})^{\times}[/tex] tramite la corrispondenza di cui parli (quest'ultimo è il gruppo degli elementi invertibili dell'anello [tex]\mathbb{Z}_{2^n}[/tex]). Ora, tu sai già (l'hai detto all'inizio) che [tex](\mathbb{Z}_{2^n})^{\times}[/tex] è del tipo [tex]C_2 \times C_{2^{n-2}}[/tex] (questa non è una cosa evidente, ti conviene usarla!). Più esplicitamente, hai che
[tex](\mathbb{Z}_{2^n})^{\times} = \langle 3+2^n\mathbb{Z} \rangle \times \langle -1 + 2^n\mathbb{Z} \rangle[/tex].
Qui [tex]3[/tex] ha ordine [tex]2^{n-2}[/tex] modulo [tex]2^n \mathbb{Z}[/tex]. Riesci a vedere quali sono i tre elementi di ordine due?
Purtroppo no, ma ci sto pensando.
Niente, ho delle idee vaghe ma non riesco a riunirle.
Un elemento di ordine [tex]2[/tex] in [tex]\langle r \rangle \times \langle s \rangle = C_2 \times C_{2^{n-2}}[/tex] e' dato da una coppia [tex](a,b) \neq (1,1)[/tex] tale che [tex](a^2,b^2)=(1,1)[/tex]. Se [tex]a=1[/tex] allora dev'essere [tex]b=s^{2^{n-3}}[/tex]. Se [tex]b=1[/tex] allora dev'essere [tex]a=r[/tex]. Se [tex]a \neq 1 \neq b[/tex] allora dev'essere [tex]a=r[/tex] e [tex]b=s^{2^{n-3}}[/tex].
In sintesi, i tre automorfismi di ordine [tex]2[/tex] di [tex]\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z}[/tex] sono questi:
[tex]x \mapsto -x[/tex],
[tex]x \mapsto 3^{2^{n-3}}x[/tex],
[tex]x \mapsto -3^{2^{n-3}}x[/tex].
In sintesi, i tre automorfismi di ordine [tex]2[/tex] di [tex]\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z}[/tex] sono questi:
[tex]x \mapsto -x[/tex],
[tex]x \mapsto 3^{2^{n-3}}x[/tex],
[tex]x \mapsto -3^{2^{n-3}}x[/tex].
Ero arrivato alla stessa soluzione solo considerando il fatto che il periodo di (g,h) è il minimo comune multiplo del periodo di g e di h.
Ora devo costruire il prodotto semidiretto.
Inizio dal primo: ossia pongo $\sigma : x rarr -x$?
Considero l'applicazione $\phi : C_2 rarr <\sigma>$. Vistoc he conosco un omomorfismo se conosco come esso agisce sui generatori, posso far si che $\phi$ trasformi il generatore di $C_2$ in $\sigma$?
Poi per costruire il prodotto semidiretto non devo fare altro che definire l'operazione di prodotto che ho trovato sul libro?
Inizio dal primo: ossia pongo $\sigma : x rarr -x$?
Considero l'applicazione $\phi : C_2 rarr <\sigma>$. Vistoc he conosco un omomorfismo se conosco come esso agisce sui generatori, posso far si che $\phi$ trasformi il generatore di $C_2$ in $\sigma$?
Poi per costruire il prodotto semidiretto non devo fare altro che definire l'operazione di prodotto che ho trovato sul libro?
Non so se ho fatto bene, ma ho seguito il procedimento del post precedente: che ne dite?, il ragionamento è giusto?
Dato un automorfismo [tex]\sigma[/tex] di [tex]C_{2^n}[/tex] di ordine [tex]2[/tex], prendi come omomorfismo strutturale [tex]\langle \sigma \rangle \to \text{Aut}(C_{2^n})[/tex] semplicemente l'inclusione.
Tale omomorfismo strutturale definisce inequivocabilmente un prodotto semidiretto [tex]C_{2^n} \rtimes \langle \sigma \rangle[/tex]. Non c'e' altro da aggiungere.
Se proprio vuoi esplicitare l'operazione in [tex]C_{2^n} \rtimes \langle \sigma \rangle[/tex], puoi dire che essa e' quella solita (quella che trovi nel libro, dove parla del prodotto semidiretto esterno): dati [tex]x,y \in C_{2^n}[/tex], [tex](x, \sigma^a) \cdot (y, \sigma^b) := (x \cdot y^{\sigma^a}, \sigma^{a+b})[/tex].
Tale omomorfismo strutturale definisce inequivocabilmente un prodotto semidiretto [tex]C_{2^n} \rtimes \langle \sigma \rangle[/tex]. Non c'e' altro da aggiungere.
Se proprio vuoi esplicitare l'operazione in [tex]C_{2^n} \rtimes \langle \sigma \rangle[/tex], puoi dire che essa e' quella solita (quella che trovi nel libro, dove parla del prodotto semidiretto esterno): dati [tex]x,y \in C_{2^n}[/tex], [tex](x, \sigma^a) \cdot (y, \sigma^b) := (x \cdot y^{\sigma^a}, \sigma^{a+b})[/tex].
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