Prodotti diretti

[anto_zoolander]

Mi è rimasto quest'ultimo teorema sui gruppi da dimostrare:

sia $F={G_i : i=1,...,n}$ una famiglia di gruppi finiti di ordine $|G_i|=n_i$
allora sono equivalenti:

$prod_( i=1)^(n)G_i$ è ciclico

$forallh,k=1,...,n(hnek=>(n_k,n_h)=1)$ e $G_i$ è ciclico per ogni $i=1,...,n$

dimostrazione

(<=) poniamo intanto $G_i=$
preliminarmente è bene notare che $|prod_(i=1)^(n)G_i|=prod_(k=1)^(n)n_k$

e anche che se $g_i in G_i$ sono periodici allora $(g_1,...,g_n)$ è periodico ed ha periodo il minimo comune multiplo dei periodi infatti posto $m=mcm(|g_1|,...,|g_n|)$ e $t=|(g_1,...,g_n)|$ abbiamo

sicuramente è periodico in quanto $m$ è multiplo di ogni periodo quindi

$(g_1,...,g_n)^m=(g_1^m,...,g_n^m)=(e_(G_1),...,e_(G_n))$

dunque posto $t$ il periodo dell'elemento si avrà che $t|m$ poichè $m$ è un periodo e $m|t$ poichè $t$ è un periodo di ogni $g_i$ e quindi $|g_i|$ $|$ $ t,foralli=1,...,n$
pertanto si ottiene che $t=m$

quindi grazie a questo lemma otteniamo che sicuramente $<(g_1,...,g_n)> leq prod_(i=1)^(n)G_i$
e poi che $| <(g_1,...,g_n)> | = abs( (g_1,...,g_n) ) = prod_(i=1)^(n) abs(g_k) = abs(prod_(i=1)^(n)G_i)$

questo segue dal fatto che il minimo comune multiplo sia proprio il prodotto dei periodi dato che sono a due a due coprimi e quindi si ottiene un sottogruppo dello stesso ordine e pertanto

$<(g_1,...,g_n)> = prod_(i=1)^(n)G_i$

intanto vediamo se fin quì è corretto.

[killing_buddha]

Sì, apparentemente è giusto.