Problemino sui gruppi dell'Herstein

[francicko]

Sia $G$ un gruppo di ordine $2n$ supponiamo che la metà degli elementi di $G$ siano di ordine $2$ e che l'altra metà formi un sottogruppo $H$ di ordine $n$ . Dimostrare che $H$ ha ordine dispari ed è un sottogruppo abeliano.
Ragionavo nel modo seguente , indichiamo con $K$ l'insieme degli elementi che hanno ordine $2$ che $H$ sia di ordine dispari è
banale in quanto non possedendo elementi di ordine $2$ per caushy $2$ non dividerà $o(H)$ per cui $o(H)$ è dispari.
Per quanto riguarda che $H$ sia abeliano, basta considerare l'elemento generico della forma $hk$ , tale elemento non può ovviamente
$in H$ in quanto diversamente dovrebbe $k in H$ contrariamente all'ipotesi, quindi $hk inK$ ma allora $o(hk)=2$,
per cui posso scrivere per esteso $(hk)(hk)=e$, ed anche $(hkh)k=e$, $h(khk)=e$ da qui ricavo $hkh=k$, ed $khk=h^(-1)$
Presi adesso due qualsiasi elementi distinti $in H$ siano $h_1$ ed $h_2$ si ha la seguente relazione
$(h_1kh_1)(h_2kh_2)=kk=e$ , inoltre $h_1(k(h_1h_2)k)h_2=e$ ma $k(h_1h_2)k=h_2^(-1 )h_1^(-1)$ in quanto$h_1h_2 inH$, pertanto deve necessariamente essere affinchè sia valida la relazione ,$h_2^(-1)h_1^(-1)=h_1^(-1)h_2^(-1)$ e quindi $H$ $abeliano$.
Non so se la soluzione che ho proposto sia quella giusta, se cosi fosse, comunque il problemino(dell'Herstein) a mio parere nel testo doveva specificare che "esattamente" la metà degli elementi siano di ordine $2$. Se qualcuno vuol controllare la validità dell'esposto ,Grazie!

[vict85]

Riguardo alla dimostrazione che l'ordine è dispari è banale ma per un'altra ragione (indipendente da n). Ad ogni elemento di ordine maggiore di due puoi associarne un altro (l'inverso) in modo univoco, quindi il loro ordine è pari. Se tu ci aggiungi l'elemento neutro il totale è dispari (ed è anche dispari il numero di elementi di ordine 2).

Il resto non mi sembra abbia errori ma sono abbastanza di fretta quindi l'ho guardato velocemente.

[francicko]

Grazie per avermi risposto, la tua osservazione riguardo la prima parte dell'asserto è piu che giusta, il fatto che il problema è contraddistinto dall'asterisco per la sua difficoltà mi ha un po' fuorviato. Per quanto riguarda la seconda che poi è quella piu' interessante sembra anche a me che vada bene;