Problemini sui gruppi
1) Dimostrare che un gruppo G che contiene un unico sottogruppo H non banale é ciclico.
Faccio il seguente ragionamento: preso un elemento g diverso dall'elemento neutro appartenente a G ma non appartenente ad H , tale elemento necessariamente
genera un stgp ciclico che sarà diverso da H, ma d'oltre canto per ipotesi G non possiede altri stgp non banali fuorchè che il stgp H quindi necessariamente si ha che il stgp coinciderà con il gruppo G, pertanto G è generato da g cioè è ciclico.
Infatti tutti i gruppi di ordine $p^2$ con p primo che rispondono alle caratteristiche su indicate sono ciclici.
2)Dimostrare che un gruppo G che abbia un stgp A non banale tale che comunque preso un qualsiasi altro stgp B di G risulta
$ A supe B $ , è ciclico.
Per la soluzione faccio lo stesso ragionamento del punto 1) ed ottengo la soluzione, inoltre osservo che è una generalizzazione del
punto 1) infatti tutti i Gruppi di ordine $n^2$con $n$ qualsiasi, che rispondono alle caratteristiche del punto 2) sono ciclici.
3) Di che ordine è il pìù piccolo Gruppo non abeliano?
Faccio il seguente ragionamento a parte il gruppo banale composto dall'elemento neutro , un gruppo di ordine 2 è abeliano
perchè ciclico, uno di ordine 3 idem, di ordine 4 o risulta dal prodotto diretto di due gruppi di ordine 2 oppure è ciclico in ambedue i casi è abeliano, uno di ordine 5 è ciclico quindi abeliano , resta il caso di ordine 6 ,in quest'ultimo caso abbiamo a meno di isomorfismi due gruppi uno risulta il prodotto diretto di due gruppi rispettivamente di ordine 2 e di ordine 3 e quindi sicuramente abeliano(ciclico) oppure il gruppo simmetrico S con 3 che è non abeliano , pertanto è lui il gruppo cercato, cioè la risposta è di ordine 6.
Non so se i quesiti che ho posto siano del tutto esatti ,e tanto meno le soluzioni, sarei grato se qualcuno mi desse delle delucidazioni in merito.
Faccio il seguente ragionamento: preso un elemento g diverso dall'elemento neutro appartenente a G ma non appartenente ad H , tale elemento necessariamente
genera un stgp ciclico
Infatti tutti i gruppi di ordine $p^2$ con p primo che rispondono alle caratteristiche su indicate sono ciclici.
2)Dimostrare che un gruppo G che abbia un stgp A non banale tale che comunque preso un qualsiasi altro stgp B di G risulta
$ A supe B $ , è ciclico.
Per la soluzione faccio lo stesso ragionamento del punto 1) ed ottengo la soluzione, inoltre osservo che è una generalizzazione del
punto 1) infatti tutti i Gruppi di ordine $n^2$con $n$ qualsiasi, che rispondono alle caratteristiche del punto 2) sono ciclici.
3) Di che ordine è il pìù piccolo Gruppo non abeliano?
Faccio il seguente ragionamento a parte il gruppo banale composto dall'elemento neutro , un gruppo di ordine 2 è abeliano
perchè ciclico, uno di ordine 3 idem, di ordine 4 o risulta dal prodotto diretto di due gruppi di ordine 2 oppure è ciclico in ambedue i casi è abeliano, uno di ordine 5 è ciclico quindi abeliano , resta il caso di ordine 6 ,in quest'ultimo caso abbiamo a meno di isomorfismi due gruppi uno risulta il prodotto diretto di due gruppi rispettivamente di ordine 2 e di ordine 3 e quindi sicuramente abeliano(ciclico) oppure il gruppo simmetrico S con 3 che è non abeliano , pertanto è lui il gruppo cercato, cioè la risposta è di ordine 6.
Non so se i quesiti che ho posto siano del tutto esatti ,e tanto meno le soluzioni, sarei grato se qualcuno mi desse delle delucidazioni in merito.
Risposte
1) Ok!
2) Devi procedere per induzione ma credo che tu abbia agito così!
3) I minimi gruppi non abeliani sono $S_3$; gruppo simmetrico su $3$ enti, e $D_3$ o $D_6$; gruppo diedrale di grado $3$ o di ordine $6$ (sono equivalenti le denominazioni)!
2) Devi procedere per induzione ma credo che tu abbia agito così!
3) I minimi gruppi non abeliani sono $S_3$; gruppo simmetrico su $3$ enti, e $D_3$ o $D_6$; gruppo diedrale di grado $3$ o di ordine $6$ (sono equivalenti le denominazioni)!
Scusami j18eos ma $S_3$ e $D_3$ non sono isomorfi?
Infatti, lo sono 
che sciocco! Mi sono confuso tra $D_8$ e $Q_8$!
che sciocco! Mi sono confuso tra $D_8$ e $Q_8$!
Esercizio : siano $a $ e $ b $ due elementi di un Gruppo $G$, se $a^2=1$ ed $a*b^2*a=b^3$ , si provi che $b^5=1$.
Procedevo così per la risoluzione : la prima informazione utile che deduco dalla relazione è la seguente,
$a*a*b^2*a*a=a*b^3*a$ avendo composto sia a destra che a sinistra per $a$, ottengo così la seguente
uguaglianza $b^2=a*b^3*a$ adesso osservo che $(a*b^2*a)*(a*b^2*a)=b^6 =(a*b^3*a)*(a*b^3*a)*(a*b^3*a)$ e risolvendo
si ha $a*b^4*a=a*b^9*a$ e semplificando con la legge di cancellazione sui gruppi avrò $b^4=b^9$ ma posso scrivere
$b^4=b^4*b^5$ e trovandomi in un gruppo deve necessariamente essere per l'unicità dell'elemento neutro $b^5=1$, quindi
la tesi è dimostrata.
Sarei grato se mi potreste dare un parere sull'esattezza o meno dell'esposto.
Inoltre chiedevo se è possibile citare l'eventuale testo da cui viene preso un esercizio oppure è vietato dal regolamento del forum?
Procedevo così per la risoluzione : la prima informazione utile che deduco dalla relazione è la seguente,
$a*a*b^2*a*a=a*b^3*a$ avendo composto sia a destra che a sinistra per $a$, ottengo così la seguente
uguaglianza $b^2=a*b^3*a$ adesso osservo che $(a*b^2*a)*(a*b^2*a)=b^6 =(a*b^3*a)*(a*b^3*a)*(a*b^3*a)$ e risolvendo
si ha $a*b^4*a=a*b^9*a$ e semplificando con la legge di cancellazione sui gruppi avrò $b^4=b^9$ ma posso scrivere
$b^4=b^4*b^5$ e trovandomi in un gruppo deve necessariamente essere per l'unicità dell'elemento neutro $b^5=1$, quindi
la tesi è dimostrata.
Sarei grato se mi potreste dare un parere sull'esattezza o meno dell'esposto.
Inoltre chiedevo se è possibile citare l'eventuale testo da cui viene preso un esercizio oppure è vietato dal regolamento del forum?
Poi... (qual'è la tesi?)
"francicko":
Procedevo così per la risoluzione : la prima informazione utile che deduco dalla relazione è la seguente,
$a*a*b^2*a*a=b^3$
Va benissimo, semplicemente qua sopra penso tu abbia sbagliato a digitare (è in contrasto con le ipotesi!).
Dicci pure da dove hai preso l'esercizio, a volte può essere utile.
"francicko":
Esercizio : siano $a $ e $ b $ due elementi di un Gruppo $G$, se $a^2=1$ ed $a*b^2*a=b^3$ , si provi che $b^5=1$.
Procedevo così per la risoluzione : la prima informazione utile che deduco dalla relazione è la seguente,
$a*a*b^2*a*a=a*b^3*a$ avendo composto sia a destra che a sinistra per $a$, ottengo così la seguente
uguaglianza $b^2=a*b^3*a$ adesso osservo che $(a*b^2*a)*(a*b^2*a)=b^6 =(a*b^3*a)*(a*b^3*a)*(a*b^3*a)$ e risolvendo
si ha $a*b^4*a=a*b^9*a$ e semplificando con la legge di cancellazione sui gruppi avrò $b^4=b^9$ ma posso scrivere
$b^4=b^4*b^5$ e trovandomi in un gruppo deve necessariamente essere per l'unicità dell'elemento neutro $b^5=1$, quindi
la tesi è dimostrata.
Sarei grato se mi potreste dare un parere sull'esattezza o meno dell'esposto.
Inoltre chiedevo se è possibile citare l'eventuale testo da cui viene preso un esercizio oppure è vietato dal regolamento del forum?
Ringrazio per l'avviso di correzione, infatti mi ero dimenticato di comporre per $a$ anche il secondo membro dell'identità, ma come si
dice l'età fa brutti scherzi.
L'esercizio che ho posto si trova sul testo "TEORIA dei GRUPPI" della collana "SCHAUM" a pagina 127 in basso.
dice l'età fa brutti scherzi.
L'esercizio che ho posto si trova sul testo "TEORIA dei GRUPPI" della collana "SCHAUM" a pagina 127 in basso.
Siano $a$,e $b$, due elementi di un Gruppo G. Se $a^-1*b^2*a=b^3$ e $b^-1*a^2*b=a^3$, si provi che $a=1=b$.
Non riesco a trovare una soluzione se qualcuno ha qualche idea o suggerimento da proporre .
Riflettendo gli elementi della forma:
$a^-1*b*a$ , $a^-1*b^2*a$ , $a^-1*b^3*a$, ....$a^-1*b^n*a$, con $n in N$ costituiscono un sottogruppo cilclico di
cui uno dei generatori è sicuramente l'elemento della forma $a^-1*b^*a$, che altre considerazioni si possono fare?
Non riesco a trovare una soluzione se qualcuno ha qualche idea o suggerimento da proporre .
Riflettendo gli elementi della forma:
$a^-1*b*a$ , $a^-1*b^2*a$ , $a^-1*b^3*a$, ....$a^-1*b^n*a$, con $n in N$ costituiscono un sottogruppo cilclico di
cui uno dei generatori è sicuramente l'elemento della forma $a^-1*b^*a$, che altre considerazioni si possono fare?
No, hai che: $a^{-1}b^4a=b^6$ e $b^{-1}a^4b=a^6$; al contrario di quanto scritto!
Volevo sollecitare l'attenzione sull'ultimo problemino sui gruppi che ho posto in questo forum , come posso farlo senza violare il regolamento?
X Francicko:
[tex]b^2a = ab^3 \Rightarrow b^2ab^{-2} = ab[/tex] e [tex]a^2b = ba^3 \Rightarrow a^2ba^{-2} = ba[/tex]
[tex]b^2a = b(ba) = b^2a^2ba^{-2} = b^3(b^{-1}a^2b)a^{-2} = b^3a^3a^{-2} = b^3a \Rightarrow b=1[/tex]
[tex]a^2b = ba^3 \Rightarrow a^2 = a^3 \Rightarrow a=b=1[/tex]
[tex]b^2a = ab^3 \Rightarrow b^2ab^{-2} = ab[/tex] e [tex]a^2b = ba^3 \Rightarrow a^2ba^{-2} = ba[/tex]
[tex]b^2a = b(ba) = b^2a^2ba^{-2} = b^3(b^{-1}a^2b)a^{-2} = b^3a^3a^{-2} = b^3a \Rightarrow b=1[/tex]
[tex]a^2b = ba^3 \Rightarrow a^2 = a^3 \Rightarrow a=b=1[/tex]
Grazie della soluzione Vict 85, non ci sarei mai arrivato, bravissimo!!
Mi sono accorto di un errore nella seconda riga 
... Ci devo pensare ancora...
... Ci devo pensare ancora...
Siano $A$ e $B$ due Sottogruppi di un Gruppo $G$ e $G=AuuB$, allora deve essere $AA$ coppia di elementi, $ainA$,$binB$ , $abinA$ o/e $abinB$,
ma $abinA$ $->$ $binA$ , $abinB$ $->$ $ainB$ $->$ $AsubeB=G$ o $BsubeA=G$, è giusta questa deduzione?
ma $abinA$ $->$ $binA$ , $abinB$ $->$ $ainB$ $->$ $AsubeB=G$ o $BsubeA=G$, è giusta questa deduzione?
eh già.
in effetti per i gruppi finiti si vede anche con la cardinalità e con il fatto che l'elemento neutro appartiene ad ogni sottogruppo.
però come hai fatto tu è semplice e generale, perfetto.
in effetti per i gruppi finiti si vede anche con la cardinalità e con il fatto che l'elemento neutro appartiene ad ogni sottogruppo.
però come hai fatto tu è semplice e generale, perfetto.
Sia $G$ un gruppo di ordine $p^n$ con $p$ primo tale che $AA$ divisore $h$ dell'ordine di $G$ ,$EE$ un solo $stgp$ di ordine$h$. Dimostrare che $G$ è ciclico.
Per la soluzione ragiono nel modo seguente:
Se $n=1$ banalmente si ha che $G$ ha ordine primo quindi è ciclico.
Supponiamo $n>1$ devo trovare un elemento di ordine $p^n$.
Sia $H$ l'unico $stgp$ di $G$ di ordine $p^n-1$ e sia $ginG\\H$, il periodo di $g$ non può essere$<=p^(n-1)$ in quanto sarebbe contrario all'ipotesi quindi l'elemento $g$ deve avere necessariamente periodo $p^n$, ma allora $$$=G$ e pertanto $G$ ciclico.
E' corretto?
Per la soluzione ragiono nel modo seguente:
Se $n=1$ banalmente si ha che $G$ ha ordine primo quindi è ciclico.
Supponiamo $n>1$ devo trovare un elemento di ordine $p^n$.
Sia $H$ l'unico $stgp$ di $G$ di ordine $p^n-1$ e sia $ginG\\H$, il periodo di $g$ non può essere$<=p^(n-1)$ in quanto sarebbe contrario all'ipotesi quindi l'elemento $g$ deve avere necessariamente periodo $p^n$, ma allora $
E' corretto?
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