Problemi su relazioni di equivalenza
Buonasera, avrei qualche problema sulle relazioni di equivalenza.
Se io ho $A=NN$ ed $E$ la relazione binaria su $A$ definita da:
$aEb$ sse 5 divide sia $a$ che $b$ OPPURE 5 non divide nè $a$ nè $b$.
Devo dimostrare che $E$ è una relazione di equivalenza.
Avrei bisogno di qualche aiuto per "ingranare".
Grazie mille.
Se io ho $A=NN$ ed $E$ la relazione binaria su $A$ definita da:
$aEb$ sse 5 divide sia $a$ che $b$ OPPURE 5 non divide nè $a$ nè $b$.
Devo dimostrare che $E$ è una relazione di equivalenza.
Avrei bisogno di qualche aiuto per "ingranare".
Grazie mille.
Risposte
Una relazione di equivalenza è una relazione (vale a dire, nel tuo caso, un sottoinsieme di $\NN\times\NN$) che soddisfa delle particolari proprietà.
Comincia a scrivere queste proprietà e comincia a ragionare su ciascuna di esse singolarmente.
Posta qui i tuoi risultati così ci ragioniamo insieme.
Comincia a scrivere queste proprietà e comincia a ragionare su ciascuna di esse singolarmente.
Posta qui i tuoi risultati così ci ragioniamo insieme.
Le proprietà affinchè sia una relazione di equivalenza sono quelle di:
-Riflessività: $AAa in A, aEa$
-Simmetria: $AA a, b in A, aEb rArr bEa$
-Transitività: $AA a,b,c in A, aEb, bEc rArr aEc$.
-Riflessività: $AAa in A, aEa$
-Simmetria: $AA a, b in A, aEb rArr bEa$
-Transitività: $AA a,b,c in A, aEb, bEc rArr aEc$.
Ok, ho verificato che è una relazione di equivalenza, ora mi chiede di determinare le classi di equivalenza di ${0,1,5}$
Allora, se non sbaglio, per definizione per $a in A$ la classe di equivalenza di $a$ rispetto ad $E$ è: ${b in A : aEb}$.
Quindi, ad esempio, la classe di equivalenza di 5 è: $5|E={5k, k in NN}$ è corretto?
Allora, se non sbaglio, per definizione per $a in A$ la classe di equivalenza di $a$ rispetto ad $E$ è: ${b in A : aEb}$.
Quindi, ad esempio, la classe di equivalenza di 5 è: $5|E={5k, k in NN}$ è corretto?
"Pozzetto":
Le proprietà affinchè sia una relazione di equivalenza sono quelle di:
-Riflessività: $AAa in A, aEa$
-Simmetria: $AA a, b in A, aEb rArr bEa$
-Transitività: $AA a,b,c in A, aEb, bEc rArr aEc$.
Qui hai solo elencato le proprietà che deve avere una relazione affinchè sia di equivalenza, dovresti verificarlo considerando che la tua relazione può essere formalizzata in questo modo:
[tex]aEb \Leftrightarrow (5|a \land 5|b) \lor (5 \not |a \land 5 \not | b)[/tex]
Si ok, era quell'OPPURE che mi mandava in confusione, credo di aver risolto il mio problema.
Passerei a un altro dubbio.
Sia $X=RR$ devo determinare una funzione da $A=RR X RR$ $f:A rarr X$ t.c. $xEy hArr f(x)= f(y)$.
Questa non l'ho proprio capita...
Passerei a un altro dubbio.
Sia $X=RR$ devo determinare una funzione da $A=RR X RR$ $f:A rarr X$ t.c. $xEy hArr f(x)= f(y)$.
Questa non l'ho proprio capita...
E' il nucleo (di equivalenza) della funzione [tex]f[/tex].
In generale qualsiasi funzione tra due insiemi [tex]f : A \rightarrow B[/tex] "induce" una relazione di equivalenza sul proprio dominio, chiamata [tex]ker(f)[/tex], o nucleo, se:
[tex]aRb \Leftrightarrow f(a)=f(b)[/tex]
cioè due elementi sono in relazione se e solo se hanno la stessa immagine tramite [tex]f[/tex].
Dovresti verificare che sia effettivamente una relazione di equivalenza...
In generale qualsiasi funzione tra due insiemi [tex]f : A \rightarrow B[/tex] "induce" una relazione di equivalenza sul proprio dominio, chiamata [tex]ker(f)[/tex], o nucleo, se:
[tex]aRb \Leftrightarrow f(a)=f(b)[/tex]
cioè due elementi sono in relazione se e solo se hanno la stessa immagine tramite [tex]f[/tex].
Dovresti verificare che sia effettivamente una relazione di equivalenza...
Non mi è molto chiaro.
L'esercizio chiede di determinare una funzione, non di verificare se ho una relazione di equivalenza o no!
L'esercizio chiede di determinare una funzione, non di verificare se ho una relazione di equivalenza o no!
Pensavo che l'esercizio fosse inerente l'argomento della discussione.... Comunque non mi è ben chiaro il testo dell'esercizio, potresti scriverlo come indicato nel libro?
Sia $E$ una relazione binaria su $A=RR X RR$ definita da $(x,y)E(x',y') hArr x=x'$.
Dimostrare che $E$ è d'equivalenza. Questo l'ho già dimostrato.
Ora chiede: Sia $X=RR$. Determinare una funzione $f:A rarr X$ tale che $xEy hArr f(x)=f(y)$
Dimostrare che $E$ è d'equivalenza. Questo l'ho già dimostrato.
Ora chiede: Sia $X=RR$. Determinare una funzione $f:A rarr X$ tale che $xEy hArr f(x)=f(y)$
In pratica sta chiedendo: determinare \(\displaystyle f\colon \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) tale che \(\displaystyle f(a,b)=f(c,d) \Leftrightarrow a=c\).
Ok, allora la tua funzione sarà nella forma: [tex]f: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex], e una generica coppia ordinata [tex](x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}[/tex] dovrà essere mappata sul dominio [tex]\mathbb{R}[/tex]. Ora devi trovare in che modo mappare la coppia ordinata affinchè sia valida la relazione binaria indicata. Un esempio penso possa essere [tex](x,y) \mapsto x \cdot y[/tex]; prova a verificare se rispetta la definizione di relazione...
Ok, ho verificato che la funzione suggeritami è di equivalenza.
Ora mi viene chiesto quante sono le classi di equivalenza di $E$ su $A$.
Grazie ancora!
Ora mi viene chiesto quante sono le classi di equivalenza di $E$ su $A$.
Grazie ancora!
Ho per caso $2$ classi di equivalenza?
Non ho verificato, ma perchè proprio 2? Che ragionamento hai fatto?
Ci sono i $b$ per cui $f(x)=f(y)$ e i $b$ per cui $f(x) != f(y)$.
Sbagliato vero?
Sbagliato vero?
Una funzione $f\ :\RR\times\RR->\RR$ tale che $f(a,b)=f(c,d)<=>a=c$ può essere $f(x,y)=x$ (è la più semplice che mi viene in mente).
Ora, ogni classe di equivalenza è un insieme contenente elementi tutti equivalenti fra di loro. Ma sai che due coppie sono equivalenti se (e solo se) hanno il primo elemento uguale, quindi in una specifica classe di equivalenza troverai tutte le coppie che hanno il primo elemento uguale e il secondo arbitrario: ci sono tante classi di equivalenza quanti sono i numeri reali.
Ora, ogni classe di equivalenza è un insieme contenente elementi tutti equivalenti fra di loro. Ma sai che due coppie sono equivalenti se (e solo se) hanno il primo elemento uguale, quindi in una specifica classe di equivalenza troverai tutte le coppie che hanno il primo elemento uguale e il secondo arbitrario: ci sono tante classi di equivalenza quanti sono i numeri reali.
E quello che pensavo anche io...
"PZf":
Ma sai che due coppie sono equivalenti se (e solo se) hanno il primo elemento uguale
Questo lo so dalla definizione di $E$ giusto?
Ritorno su un altro quesito riguardante sempre le classi di equivalenza.
Ho una relazione binaria su $A=Pow(NN)$ definita da: $X E Y$ se e solo se $X$ e $Y$ sono finiti e hanno lo stesso numero di elementi OPPURE $X$ e $Y$ sono entrambi infiniti.
Ho già dimostrato che $E$ è di equivalenza ma ora mi viene chiesta la classe di equivalenza dell'insieme vuoto e di un numero naturale ${n}$.
Io ho ragionato così per quanto riguarda la classe di equivalenza dell'insieme vuoto:
Sono su $A=Pow(NN)$ quindi ogni classe di equivalenza è un insieme contenente elementi tutti uguali fra loro.
Ma insiemi con lo stesso numero di elementi del vuoto c'è solo il vuoto o sbaglio?
Ho una relazione binaria su $A=Pow(NN)$ definita da: $X E Y$ se e solo se $X$ e $Y$ sono finiti e hanno lo stesso numero di elementi OPPURE $X$ e $Y$ sono entrambi infiniti.
Ho già dimostrato che $E$ è di equivalenza ma ora mi viene chiesta la classe di equivalenza dell'insieme vuoto e di un numero naturale ${n}$.
Io ho ragionato così per quanto riguarda la classe di equivalenza dell'insieme vuoto:
Sono su $A=Pow(NN)$ quindi ogni classe di equivalenza è un insieme contenente elementi tutti uguali fra loro.
Ma insiemi con lo stesso numero di elementi del vuoto c'è solo il vuoto o sbaglio?
Non sbagli: $O/$ è in relazione solo con sè stesso.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo