Problemi poco "decifrabili"

[gioce90]

Ho dei problemi a risolvere questa tipologia di problemi. Hanno a che fare con funzioni, anelli ecc, ma più li guardo e più mi sembrano abbiano a che fare con il Calcolo Combinatorio (i primi due almeno). Sbaglio?
Qualcuno potrebbe guidarmi nella risoluzione di questi tre esercizi? Il fatto è che non so da dove cominciare...

PROBLEMA NUMERO 1:
Quante sono le funzioni suriettive $f : Z8 → Z4$ ?
Quante e quali di esse sono omomorfismi di anelli?

PROBLEMA NUMERO 2:
Quante distinte funzioni $f : Z10 → Z12$ iniettive e tali che
$ f([1]10) = [2]12 $,
$ f([2]10) = [3]12 $,
$ f([3]10) = [10]12 $
possono essere scritte? (non riesco a mettere i vari 10 e 12 in pedice -.- )

PROBLEMA NUMERO 3:
Assegnata $\phi: Z60 → Z12 \times Z20$ , $[x]60 → ([x]12, [x]20)$,
(1) si verifichi che $\phi$ è ben definita, è un omomorfismo di anelli e se ne determini il nucleo;
(2) si determini la controimmagine $\phi^-1([3]12, [7]20)$;
(3) si determini un elemento di $Z12 \times Z20$ che non ha controimmagine.

[bestiedda2]

Per il problema numero 1 io ragionerei così: chiamo \(\displaystyle n_1 ,n_2 ,n_3 ,n_4 \) il numero di funzioni che hanno immagine di cardinalità rispettivamente 1,2,3 o 4, e chiamo \(\displaystyle n \) il numero di funzioni da \(\displaystyle Z_8 \) a \(\displaystyle Z_4 \). Allora \(\displaystyle n_4=n-n_1 -n_2 -n_3 \). Si ha \(\displaystyle n_i = k_i*m_i \), dove \(\displaystyle k_i \) è il numero di sottoinsiemi di \(\displaystyle Z_4 \) di \(\displaystyle i \) elementi, e \(\displaystyle m_i \) è il numero di funzioni suriettive da \(\displaystyle Z_4 \) a un insieme di \(\displaystyle i \) elementi. ti basta calcolare \(\displaystyle k_i \) e \(\displaystyle m_i \) per \(\displaystyle i=1,2,3 \). Ad esempio, \(\displaystyle m_2 \) è uguale al numero di funzioni da \(\displaystyle Z_4 \) a un insieme di 2 elementi meno il numero di funzioni da \(\displaystyle Z_4 \) a un sottoinsieme di 1 elemento del codominio.
Per capire quali sono omomorfismi di anelli, è facile: a quanto è uguale \(\displaystyle f(0) \)? A quanto è uguale \(\displaystyle f(1) \) ? A questo punto, \(\displaystyle f(k)=f(1+\cdots+1)=f(1)+\cdots+f(1) \) (\(\displaystyle k \) volte) e questo definisce la funzione.

[gioce90]

Non c'ho capito niente :/ sicuro di non essere fuori strada?