Problemi con i gruppi quoziente

[serway2]

Qualcuno mi saprebbe spiegare come si determinano gli elementi del gruppo quoziente $S_3$ /<(1 2 3)> ?
Se chiamo H=<(1 2 3)>
$S_3$/H={H, H(1 2)=H(1 3)=H(2 3)}={{id, (1 2 3), (1 3 2)}, {(1 2), (1 3), (2 3)}}

Vorrei sapere come faccio a stabilire che gli elementi del gruppo quoziente sono proprio questi, ovvero come si trovano

[mistake89]

Direi che la soluzione migliore è fare i conti no?
Determina $H$ per esteso e considera un elemento $k$ che non sta in $H$ e calcola la sua classe laterale.
Considera ora un elemento $k'$ che non sta nè in $H$ nè in $kH$ e calcola la sua classe laterale e così via.

Oppure come in questo caso puoi ragionare in maniera più astratta. Infatti sai che l'indice di $H$ in $G$ è pari al quoziente degli ordine di $S_3$ (che è 6) e di $H$ che è $3$. Pertanto il gruppo quoziente avrà ordine $2$. Quindi sarà formato da $H$ e dalla classe laterale di qualsiasi elemento di $S_3$ che non appartiene ad $H$

[serway2]

per quanto riguarda il secondo modo cioè ragionare in maniera astratta sono daccordo che il numero degli elementi del gruppo quoziente è 2. Per quanto riguarda il primo modo, ovvero utilizzando i calcoli, non mi è chiaro con che principio si considera un elemento e si fa la classe laterale, non ci sarebbe una regola che in generale ci dice come determinare gli elementi del gruppo quoziente? Cioè non ci sarebbe una definizione del gruppo quoziente che permette di determinarne gli elementi?

[mistake89]

E' formato dalle classi laterali. E per farlo ti devi mettere e calcolarle se vuoi sapere nel dettaglio come son fatte.
Calcolarle è facile. Prendi un elemento tipo $(12)$ e lo componi con ogni elemento di $H$ (a destra o a sinistra è indifferente in quanto la normalità ti assicura che esse coincidono).

[serway2]

ti dico quello che ho capito, poi correggimi se sbaglio, dato che il gruppo quoziente è formato dalle classi laterali, considero gli elementi di $S_3$ e ne faccio le relative classi laterali:
id H, (1 2 3) H, (1 3 2) H e poichè entrambi formano la stessa classe laterale ovvero H ho che H è un elemento del gruppo quoziente.
Poi trovo (1 2) H, (1 3) H, (2 3) H e anche in questo caso ho che le classi laterali di questi elementi coincidono quindi ottengo l'altro elemento del gruppo quoziente

[mistake89]

Si è giusto. Ma non ti serve verificare che la classe di $(12)$ sia uguale a quella di $(13)$. Cioè se per caso in un altro gruppo esse fossero diverse non cambierebbe nulla, sarebbero due classi laterali distinte e quindi due elementi del quoziente diversi.

[serway2]

si, nel caso sarebbero state diverse avremmo avuto che il gruppo quoziente non avrebbe avuto più due elementi ma tre, è questo che vuoi dire?

[mistake89]

Esatto. Secondo me il miglior modo per familiarizzare con queste cose è farsi un po' di esercizi per vedere come "funzionano" le cose!

[serway2]

si, grazie mille