Problema urgente su esercizio congruenze.
Salve ragazzi, ho l'esame Lunedì e vado molto di fretta, questa volta non posso proprio fallire. Quindi aiutatemi per favore.
L'esercizio è questo:
Sia $x_0$ la minima soluzione positiva della congruenza lineare $2x-= 3 (mod 7)$. Si determini il sottogruppo $H$ di $(Z,+)$ generato da $x_0$ e si dimostri che $H$ è un sottoanello di $(Z,+,*)$.
$x_0$ credo sia $=5$ ma adesso non so cosa fare.
L'esercizio è questo:
Sia $x_0$ la minima soluzione positiva della congruenza lineare $2x-= 3 (mod 7)$. Si determini il sottogruppo $H$ di $(Z,+)$ generato da $x_0$ e si dimostri che $H$ è un sottoanello di $(Z,+,*)$.
$x_0$ credo sia $=5$ ma adesso non so cosa fare.
Risposte
Ciao!
Beh, direi che ci hai visto giusto circa la soluzione della congruenza: $2*5=10 equiv 3 mod 7$.
Adesso, veniamo al sottogruppo: come è fatto?
P.S. Se hai già studiato gli ideali, puoi verificare che il tuo sottogruppo non è solo un sottoanello di $ZZ,+,*$ ma è anche un ideale (bilatero perchè l'anello è commutativo).
Beh, direi che ci hai visto giusto circa la soluzione della congruenza: $2*5=10 equiv 3 mod 7$.
Adesso, veniamo al sottogruppo: come è fatto?
P.S. Se hai già studiato gli ideali, puoi verificare che il tuo sottogruppo non è solo un sottoanello di $ZZ,+,*$ ma è anche un ideale (bilatero perchè l'anello è commutativo).
"Paolo90":
Ciao!
Beh, direi che ci hai visto giusto circa la soluzione della congruenza: $2*5=10 equiv 3 mod 7$.
Adesso, veniamo al sottogruppo: come è fatto?
P.S. Se hai già studiato gli ideali, puoi verificare che il tuo sottogruppo non è solo un sottoanello di $ZZ,+,*$ ma è anche un ideale (bilatero perchè l'anello è commutativo).
Ciao Paolo, grazie per la risposta. Però gli Ideali non sono nel programma quindi la soluzione va trovata in qualche altro modo.
Il sottogruppo $H$ di $(Z.+)$ lo si trova se $H$ è chiuso per l'addizione, se l'elemento neutro è $in$ $H$ e se per ogni $a in H$ esiste $a^-^1 in H$
Ecco il problema è che non so dimostrare queste cose con le congruenze. Oppure mi sto sbagliando?
"Sandruz":
Ciao Paolo, grazie per la risposta. Però gli Ideali non sono nel programma quindi la soluzione va trovata in qualche altro modo.
Prego, figurati.
Comunque non ho mai detto che la soluzione andava trovata "con gli ideali".
Il sottogruppo $H$ di $(Z.+)$ lo si trova se $H$ è chiuso per l'addizione, se l'elemento neutro è $in$ $H$ e se per ogni $a in H$ esiste $a^-^1 in H$
Ecco il problema è che non so dimostrare queste cose con le congruenze. Oppure mi sto sbagliando?
Non servono più le congruenze adesso.
Perfetto, vedo che sai la definizione di sottogruppo.
Però come si trova il sottogruppo generato da un elemento? E' questo che devi fare tu: qual è il sottogruppo di $ZZ$ generato da 5?
Ti faccio notare, ancora, che il gruppo $ZZ,+$ ha una "particolarità": è un gruppo .... E come sono i sottogruppi di un gruppo .... ?
Ciao!
Se non ricordo male il sottogruppo generato da un numero con l'addizione, sono tutte le potenze del numero... ma non ne sono sicuro.
Quindi in questo caso, tutte le potenze di $5$?
Ma andrebbe scritto in modo un po più formale credo.
All'ultima domanda non ci arrivo Paolo, non mi viene proprio...
Quindi in questo caso, tutte le potenze di $5$?
Ma andrebbe scritto in modo un po più formale credo.
All'ultima domanda non ci arrivo Paolo, non mi viene proprio...
"Sandruz":
Se non ricordo male il sottogruppo generato da un numero con l'addizione, sono tutte le potenze del numero... ma non ne sono sicuro.
Quindi in questo caso, tutte le potenze di $5$?
Ma andrebbe scritto in modo un po più formale credo.
Ci sei quasi. Sarebbero le potenze se il gruppo fosse moltiplicativo: quali sono i corrispettivi delle potenze nel caso additivo?
All'ultima domanda non ci arrivo Paolo, non mi viene proprio...
$ZZ$ è un gruppo ciclico, generato da $+-1$. Quindi tutti i suoi sottogruppi sono ciclici.
Ok allora ho fatto confuzione tra addizione e moltiplicazione.
Allora il sottogruppo generato da 5:
$<5> = {n5; n in Z}$ Quindi tutte le $x in H$ tale che $x=na$
Ossia in parole spicciole, tutti i multipli di 5.
Sapendo questo, proverei a dimostrare se $H$ è sottoanello di $(Z,+*)$
Per fare ciò faccio:
Abbiamo $H= {n5 in Z}$ e $x=n5$ e $y=m5$
per vedere se è sottoanello dobbiamo poter dire che $x-y in H$ e che $x*y in H$
$x-y rArr n5-m5 rArr 5(n-m) in H$
lo stesso vale per $x*y$, quindi suppongo sia sottoanello.
Ho fatto un macello?
Allora il sottogruppo generato da 5:
$<5> = {n5; n in Z}$ Quindi tutte le $x in H$ tale che $x=na$
Ossia in parole spicciole, tutti i multipli di 5.
Sapendo questo, proverei a dimostrare se $H$ è sottoanello di $(Z,+*)$
Per fare ciò faccio:
Abbiamo $H= {n5 in Z}$ e $x=n5$ e $y=m5$
per vedere se è sottoanello dobbiamo poter dire che $x-y in H$ e che $x*y in H$
$x-y rArr n5-m5 rArr 5(n-m) in H$
lo stesso vale per $x*y$, quindi suppongo sia sottoanello.
Ho fatto un macello?
"Sandruz":
Ok allora ho fatto confuzione tra addizione e moltiplicazione.
Allora il sottogruppo generato da 5:
$<5> = {n5; n in Z}$ Quindi tutte le $x in H$ tale che $x=na$
Ossia in parole spicciole, tutti i multipli di 5.
Sapendo questo, proverei a dimostrare se $H$ è sottoanello di $(Z,+*)$
Per fare ciò faccio:
Abbiamo $H= {n5 in Z}$ e $x=n5$ e $y=m5$
per vedere se è sottoanello dobbiamo poter dire che $x-y in H$ e che $x*y in H$
$x-y rArr n5-m5 rArr 5(n-m) in H$
lo stesso vale per $x*y$, quindi suppongo sia sottoanello.
Ho fatto un macello?
No, no: è proprio così che si fa. Perfetto, bravo.
Hai capito tutto? Ci sono altri dubbi?
Hhehe da soddisfazioni la matematica quando la si capisce. No per ora non mi serve altro. Provo a fare qualche altro esercizio, su qualche altro argomento.
Grazie infinite Paolo, mi hai guidato verso la soluzione. Senza di te l'esercizio sarebbe rimasto sul foglio a guardarmi.
Grazie infinite Paolo, mi hai guidato verso la soluzione. Senza di te l'esercizio sarebbe rimasto sul foglio a guardarmi.
Prego, figurati. 
Mi raccomando, usa la testa e ragiona. E se hai bisogno, fai un fischio, siamo qui.
Buona algebra.
Mi raccomando, usa la testa e ragiona. E se hai bisogno, fai un fischio, siamo qui.
Buona algebra.
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