Problema su un esempio sul campo di Galois
Buongiorno a tutti, studiando un esempio sui campi di Galois sul testo della prof.ssa Piacentini Cattaneo (pag. 364), mi sono imbattuto in un problema che vado a descrivere.
L'esempio consiste nell'applicazione del teorema di corrispondenza di Galois, nel caso in cui il polinomio sia $ f(x)=x^3-2 in QQ[x] $ . Risulta: $ x^3-2 =(x-root(3)(2))(x-omega root(3)(2))(x-omega ^2root(3)(2)) $
dove $ omega $ è la radice terza primitiva dell'unità. Il campo di spezzamento di f(x) è: $ K=QQ(root(3)(2),omega ) $.
Un elemento $ sigma in G(K,QQ) $ è individuato non appena si conoscano $ sigma(root(3)(2)) $ e $ sigma(omega ) $ . Esistono in tutto 6 automorfismi:
\( \sigma _1=id \)
$ sigma_2: sigma _2(omega )=omega ^2,sigma _2(root(3)(2))=root(3)(2) $
$ sigma_3: sigma _3(omega )=omega ,sigma _3(root(3)(2))=omega root(3)(2) $
$ sigma_4=sigma _3^2:sigma _4(omega )=omega , sigma _4(root(3)(2))=omega ^2 root(3)(2) $
$ sigma_5=sigma _2@ sigma _3:sigma _5(omega )=omega ^2,sigma _5(root(3)(2))=omega ^2 root(3)(2) $
$ sigma_6=sigma _2@ sigma _3^2: sigma _6(omega )=omega ^2,sigma _6(root(3)(2))=omega root(3)(2) $.
Risulta, com'è facile controllare (teorema di Cayley), $ G(K,QQ) $ isomorfo a $ S_3 $ .
Le espressioni degli automorfismi riportati sopra sono quelli del testo (incidentalmente, a me pare che le espressioni di $ sigma _5=sigma _2@ sigma _3 $ , e di $ sigma _6=sigma _2@ sigma _3^2 $ debbano essere scambiate, se si calcolano le composizioni si vede che è così).
Però il problema non è questo; il problema riguarda l'isomorfismo del gruppo di Galois col gruppo di trasformazioni. Infatti $ sigma _2^2=sigma _2@ sigma _2= $ id, quindi $ sigma _2 $ corrisponde ad una delle tre trasformazioni $ (1,2), (1,3), (2,3) $ in $ S_3 $ . Allora ciò vuol dire che ci devono essere altri due automorfismi $ sigma _i, sigma_j $ tali che i loro quadrati (ossia le loro rispettive composizioni) diano come risultato l'automorfismo identico. Però a me questo fatto non risulta, cioè se calcolo $ sigma _k^2 (k=3,4,5,6) $ , in nessun caso ottengo l'identità; motivo per cui l'isomorfismo in questione risulta dubbio. Forse sono io che calcolo erroneamente le composizioni degli automorfismi. C'è qualcuno che può spiegarmi l'arcano?
Grazie per l'attenzione.
L'esempio consiste nell'applicazione del teorema di corrispondenza di Galois, nel caso in cui il polinomio sia $ f(x)=x^3-2 in QQ[x] $ . Risulta: $ x^3-2 =(x-root(3)(2))(x-omega root(3)(2))(x-omega ^2root(3)(2)) $
dove $ omega $ è la radice terza primitiva dell'unità. Il campo di spezzamento di f(x) è: $ K=QQ(root(3)(2),omega ) $.
Un elemento $ sigma in G(K,QQ) $ è individuato non appena si conoscano $ sigma(root(3)(2)) $ e $ sigma(omega ) $ . Esistono in tutto 6 automorfismi:
\( \sigma _1=id \)
$ sigma_2: sigma _2(omega )=omega ^2,sigma _2(root(3)(2))=root(3)(2) $
$ sigma_3: sigma _3(omega )=omega ,sigma _3(root(3)(2))=omega root(3)(2) $
$ sigma_4=sigma _3^2:sigma _4(omega )=omega , sigma _4(root(3)(2))=omega ^2 root(3)(2) $
$ sigma_5=sigma _2@ sigma _3:sigma _5(omega )=omega ^2,sigma _5(root(3)(2))=omega ^2 root(3)(2) $
$ sigma_6=sigma _2@ sigma _3^2: sigma _6(omega )=omega ^2,sigma _6(root(3)(2))=omega root(3)(2) $.
Risulta, com'è facile controllare (teorema di Cayley), $ G(K,QQ) $ isomorfo a $ S_3 $ .
Le espressioni degli automorfismi riportati sopra sono quelli del testo (incidentalmente, a me pare che le espressioni di $ sigma _5=sigma _2@ sigma _3 $ , e di $ sigma _6=sigma _2@ sigma _3^2 $ debbano essere scambiate, se si calcolano le composizioni si vede che è così).
Però il problema non è questo; il problema riguarda l'isomorfismo del gruppo di Galois col gruppo di trasformazioni. Infatti $ sigma _2^2=sigma _2@ sigma _2= $ id, quindi $ sigma _2 $ corrisponde ad una delle tre trasformazioni $ (1,2), (1,3), (2,3) $ in $ S_3 $ . Allora ciò vuol dire che ci devono essere altri due automorfismi $ sigma _i, sigma_j $ tali che i loro quadrati (ossia le loro rispettive composizioni) diano come risultato l'automorfismo identico. Però a me questo fatto non risulta, cioè se calcolo $ sigma _k^2 (k=3,4,5,6) $ , in nessun caso ottengo l'identità; motivo per cui l'isomorfismo in questione risulta dubbio. Forse sono io che calcolo erroneamente le composizioni degli automorfismi. C'è qualcuno che può spiegarmi l'arcano?
Grazie per l'attenzione.
Risposte
Chiamando $alpha$ la radice cubica di $2$ e $sigma=sigma_5$ hai
$sigma(sigma(omega))=sigma(omega^2)=sigma(omega)^2=(omega^2)^2=omega$
$sigma(sigma(alpha))=sigma(omega^2 alpha) = sigma(omega^2) sigma(alpha) = omega omega^2 alpha= alpha$
Quindi $sigma^2$ fissa i due generatori, cioè $sigma^2=1$.
Analogamente con $sigma_6$.
$sigma(sigma(omega))=sigma(omega^2)=sigma(omega)^2=(omega^2)^2=omega$
$sigma(sigma(alpha))=sigma(omega^2 alpha) = sigma(omega^2) sigma(alpha) = omega omega^2 alpha= alpha$
Quindi $sigma^2$ fissa i due generatori, cioè $sigma^2=1$.
Analogamente con $sigma_6$.
Grazie Martino per la risposta. Adesso le cose tornano, e io mi sento meglio! Ciao
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