Problema su divisibilità

[dave lizewski]

Salve a tutti, mi sono bloccato su questo esercizio:
Verificare che per ogni $n in N$, $n > 0 \ $ vale che $3 * 5^(2n-1) + 2^(3n-2)$ è divisibile per 17.

Anzitutto ho fatto una piccola verifica "sperimentale" e l'uguaglianza è vera per 1,2...
Poi ho pensato di usare il principio di induzione ma mi sono arenato nella dimostrazione del passo induttivo.
Forse bisogna trovare una equazione equivalente nel campo $Z_17$ ?
Qualcuno mi può dare una mano e soprattutto dirmi se esiste un criterio per affrontare in modo "standard"
questo tipo di esercizi oppure bisogna di volta in volta ricorrere a "trucchi" più o meno ingegnosi ?

[Gi81]

Si può fare per induzione, in neanche troppi passaggi. Come hai impostato il passo induttivo e dove ti blocchi?

[dave lizewski]

"Gi8":Si può fare per induzione, in neanche troppi passaggi. Come hai impostato il passo induttivo e dove ti blocchi?

Sia la tesi vera per n, allora vale che:
$ 17 | ( 3*5^(2n−1) +2^(3n−2) ) $ e quindi esiste $k in N$ tale che
$ 17 * k = 3*5^(2n−1) +2^(3n−2) $.
Moltiplico entrambi i lati di questa uguaglianza per $ 5^2 * 2 ^3$ :

$ (5^2 * 2 ^3) * 17 * k = (5^2 * 2 ^3) * 3*5^(2n−1) + (5^2 * 2 ^3) * 2^(3n−2) $
$<=> 17 * k' = (2 ^3 * 3 ) \ * 5^2 * 5^(2n−1) + 5^2 \ * 2 ^3 * 2^(3n−2) $
$<=> 17 * k' = (2 ^3 * 3 ) \ 5^(2 \ (n+1) −1) + 5^2 \ * 2^(3 \ (n+1) −2) $
$<=> 17 * k' = 24 * 5^(2 \ (n+1) −1) + 25 * 2^(3 \ (n+1) −2) $

Sono arrivato a questo punto. Ma invece io dovrei arrivare a dimostrare che :
$ 17 * k'' = 5^(2 \ (n+1) −1) + 2^(3 \ (n+1) −2) $

e qui mi sono bloccato.

[Gi81]

Conviene partire in un altro modo:
Sia la proprietà vera per $n$, cioè vale $3*5^(2n-1)+2^(3n-2)$ è divisibile per $17$

Dobbiamo dimostrare che $3*5^(2(n+1)-1)+2^(3(n+1)-2)$ è divisibile per $17$

Ora, $3*5^(2(n+1)-1)+2^(3(n+1)-2)=3*5^(2n-1)*25+2^(3n-2)*8$
Al posto di $25$ posso scrivere $17+8$:
$3*5^(2n-1)*(17+8)+2^(3n-2)*8=17*[3*5^(2n-1)]+8*[3*5^(2n-1)+2^(3n-2)]$

Il primo addendo è divisibile per $17$ e anche il secondo (per ipotesi induttiva). Fine

[dave lizewski]

Mi ha fatto davvero piacere leggere la tua spiegazione.
E' stata utile e mi ha anche indicato come orientarmi in questo tipo di problemi.
Nei miei vari ed infruttuosi tentativi ero arrivato a metà della strada corretta
ma il "colpo d'ala" che mi è mancato era lo spezzettamento del 25 in 17 + 8.