Problema riguardante i sottogruppi caratteristici

[glooo1]

Ciao! Sto studiando una dimostrazione del teorema di Schur-Zasssenhaus e non mi torna un passaggio. Il passaggio è questo:

Ho $ N $ sottogruppo normale in $ G $ e non banale , con $ N $ risolubile. Chiamo $ N' $ il derivato di $ N $.
Allora si ha che $ N' $ è un sottogruppo caratteristico in $ N $ e quindi \( N'\unlhd G \) .

Quello che non riesco a capire è perchè $ N' $ debba risultare normale in $ G $.....il fatto che $ N' $ sia caratteristico in $ N $ non mi dice solo che è invariante rispetto a tutti gli automorfismi di $ N $?
Grazie mille in anticipo ....

[Studente Anonimo]

Sì, e quindi è invariante in particolare rispetto agli automorfismi di [tex]N[/tex] definiti come segue, per [tex]g \in G[/tex]: [tex]\gamma_g: N \to N, n \mapsto g^{-1}ng[/tex] (il coniugio tramite [tex]g[/tex], che è un automorfismo di [tex]N[/tex] in quanto [tex]N \unlhd G[/tex]). Quindi [tex]N'[/tex] è invariante per coniugio tramite elementi di [tex]G[/tex], cioè è normale in [tex]G[/tex].