Problema relativo all'esistenza di determinazioni che stabiliscono l'esistenza di certi insiemi
Non so se è la sezione giusta, volevo porre una domanda di ordine filosofico più che matematico.
Mi chiedevo come si può esprimere tramite qualche condizione logica che un insieme $X$ - che contiene un certo elemento $e$ ed è chiuso rispetto alla funzione $s$ - contiene soltanto elementi del tipo
$e$
$s(e)$
$s(s(e))$
$s(s(s(e)))$
...
con qualche condizione logica (o magari con un'infinità di condizioni logiche separate e non frasi infinite) e senza fare uso intuitivamente dei puntini come ho fatto io adesso.
Io ci ho ragionato un po' e mi sembra non si possa fare proprio in modo alternativo se si esclude che questi oggetti si ripetano (si può escludere affermando magari che $s$ in $X$ è iniettiva e $not exists x in X (s(x) = e)$.
Se dico che $e in X$ $forall x (x in X -> s(x) in X)$ con queste condizioni costringo a stare in $X$ tutti gli elementi della successione (con i puntini di sopra), ma come faccio ad escludere che non ci possa andare a finire altro?
Spesso per riferirsi a questo insieme si usa lo stratagemma degli elementi comuni a tutti gli insiemi che godono delle proprietà che ho scritto prima usando al posto di $X$ un'altra variabile, ma lo stesso questo non esclude che questo minimo rispetto all'inclusione non possa contenere altro a rigor di logica, dipende da che insiemi esistono o abbiamo stabilito che debbano esistere tramite altre determinazioni logiche, e quindi anche qua si ripresenta lo stesso problema, se non abbiamo una condizione per dire che il tale insieme debba esistere (quello dove ci sono soltanto quegli elementi di quel tipo, solo quelli e non altro) come facciamo ad imporre in una teoria che parla di insiemi che debba esistere necessariamente senza far ricorso ai puntini?
Noi riusciamo a capirci, afferriamo cosa vogliamo dire (altrimenti voi ed io non capiremmo nemmeno il problema), ma non ci capiamo in base a qualche espressione linguistica e nemmeno un gruppo di espressioni in questi casi.
Mi chiedevo come si può esprimere tramite qualche condizione logica che un insieme $X$ - che contiene un certo elemento $e$ ed è chiuso rispetto alla funzione $s$ - contiene soltanto elementi del tipo
$e$
$s(e)$
$s(s(e))$
$s(s(s(e)))$
...
con qualche condizione logica (o magari con un'infinità di condizioni logiche separate e non frasi infinite) e senza fare uso intuitivamente dei puntini come ho fatto io adesso.
Io ci ho ragionato un po' e mi sembra non si possa fare proprio in modo alternativo se si esclude che questi oggetti si ripetano (si può escludere affermando magari che $s$ in $X$ è iniettiva e $not exists x in X (s(x) = e)$.
Se dico che $e in X$ $forall x (x in X -> s(x) in X)$ con queste condizioni costringo a stare in $X$ tutti gli elementi della successione (con i puntini di sopra), ma come faccio ad escludere che non ci possa andare a finire altro?
Spesso per riferirsi a questo insieme si usa lo stratagemma degli elementi comuni a tutti gli insiemi che godono delle proprietà che ho scritto prima usando al posto di $X$ un'altra variabile, ma lo stesso questo non esclude che questo minimo rispetto all'inclusione non possa contenere altro a rigor di logica, dipende da che insiemi esistono o abbiamo stabilito che debbano esistere tramite altre determinazioni logiche, e quindi anche qua si ripresenta lo stesso problema, se non abbiamo una condizione per dire che il tale insieme debba esistere (quello dove ci sono soltanto quegli elementi di quel tipo, solo quelli e non altro) come facciamo ad imporre in una teoria che parla di insiemi che debba esistere necessariamente senza far ricorso ai puntini?
Noi riusciamo a capirci, afferriamo cosa vogliamo dire (altrimenti voi ed io non capiremmo nemmeno il problema), ma non ci capiamo in base a qualche espressione linguistica e nemmeno un gruppo di espressioni in questi casi.
Risposte
Sei familiare col concetto di proprietà universale?
In generale puoi fare così: se $X_0$ è un insieme (nel tuo caso $X_0 = \{e\}$) definisci
\[
X_{n,s} := \{s(x) \mid x\in X_{n-1}\} \qquad\qquad \overline{X}^s := \bigcup_{n\ge 0} X_n
\] ad assicurarti che ora \(\overline{X}^s\) non contenga altro che gli elementi che hai deciso tu è la sua definizione, e il fatto che l'unione di insiemi \(\bigcup_{n\ge 0} A_n\) soddisfa una proprietà universale: è l'insieme "più piccolo in assoluto" che contiene tutti gli elementi che hai prescritto.
\[
X_{n,s} := \{s(x) \mid x\in X_{n-1}\} \qquad\qquad \overline{X}^s := \bigcup_{n\ge 0} X_n
\] ad assicurarti che ora \(\overline{X}^s\) non contenga altro che gli elementi che hai deciso tu è la sua definizione, e il fatto che l'unione di insiemi \(\bigcup_{n\ge 0} A_n\) soddisfa una proprietà universale: è l'insieme "più piccolo in assoluto" che contiene tutti gli elementi che hai prescritto.
"killing_buddha":
In generale puoi fare così: se $X_0$ è un insieme (nel tuo caso $X_0 = \{e\}$) definisci
\[
X_{n,s} := \{s(x) \mid x\in X_{n-1}\} \qquad\qquad \overline{X}^s := \bigcup_{n\ge 0} X_n
\] ad assicurarti che ora \(\overline{X}^s\) non contenga altro che gli elementi che hai deciso tu è la sua definizione, e il fatto che l'unione di insiemi \(\bigcup_{n\ge 0} A_n\) soddisfa una proprietà universale: è l'insieme "più piccolo in assoluto" che contiene tutti gli elementi che hai prescritto.
Gli $n$ come li abbiamo introdotti?
Se volessimo definire l'insieme dei numeri naturali che tu hai usato per definire l'altro insieme torniamo allo stesso problema di partenza. Dovremmo poter dire che in $N$ c'è lo $0$ e solo i successori di $0$ perché funzioni la tua definizione.
$0$
$s(0)$
$s(s(0))$
...
e nient'altro.
questo nient'altro come lo esprimi se già non si è capito a monte quale sia questo insieme?
Per i numeri naturali stessi si pone lo stesso identico problema. Avevo usato $s$ non a caso prima per intendere $successore$. Se per i numeri naturali non si può escludere che ci sia altro anche quando dimostri che c'è una biezione tra questo insieme e altri insiemi non riesci a dimostrare che non ci vada a finire anche altro oltre agli elementi che ho elencato con i puntini sopra.
$n$ nella tua definizione è una variabile, ma dove varia? Sull'insieme dei numeri naturali? E l'insieme dei numeri naturali cos'è? Viene introdotto con lo stesso stratagemma.
Che sia il più piccolo in assoluto rispetto all'inclusione non esclude che oltre agli $s(...(s(e)))$ ci sia anche qualcos'altro.
È del tutto comune definire Insiemi come quello da te descritto induttivamente. La tua domanda si riduce quindi a come caratterizzare i numeri naturali,cioe al caso in cui la tua $s$ è la funzione successore, con tutte le sue proprietà e $e=0$. Al primo ordine non puoi caratterizzare i numeri naturali, Il motivo è la compattezza della logica al primo ordine. Al secondo ordine i numeri naturali sono caratterrizati a meno di isomorfismo come unico modello degli assiomi di Peano, ciò che li caratterizza è proprio il principio di induzione, che è un assioma del secondo ordine.
E l'insieme dei numeri naturali cos'è?
E' un NNO nel topos dove vivi. https://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number_object
I teoremi si fanno con gli assiomi
Scusami, ma cosa c'è di male nell'intersecare tutti e soli gli insiemi che bla, bla, bla... Infatti, posto \[\text{per ogni insieme $X$ } \colon \text{$X$ induttivo} \overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow} \begin{cases} \bullet \in X \\ \forall x \colon x \in X \Rightarrow s(x) \in X\end{cases} \ ,\] l'insieme che proprio tu cerchi, chiamiamolo $\gamma$, è induttivo per la definizione appena data. Come se non bastasse, per ogni $A$ induttivo si ha $\gamma \subseteq A$. Per la qual cosa si ha \[\gamma=\bigcap_{\text{$I$ induttivo}}I \ .\]
"Gi.":
È del tutto comune definire Insiemi come quello da te descritto induttivamente. La tua domanda si riduce quindi a come caratterizzare i numeri naturali,cioe al caso in cui la tua $s$ è la funzione successore, con tutte le sue proprietà e $e=0$. Al primo ordine non puoi caratterizzare i numeri naturali, Il motivo è la compattezza della logica al primo ordine. Al secondo ordine i numeri naturali sono caratterrizati a meno di isomorfismo come unico modello degli assiomi di Peano, ciò che li caratterizza è proprio il principio di induzione, che è un assioma del secondo ordine.
Ma io dico che al secondo ordine non si riesce più a capire bene proprietà che significa. Per mostrare che la teoria è categorica bisogna assumere che la proprietà che è soddisfatta solo da $0$ e i successori di $0$ e nient'altro esiste, si sfrutta il principio di induzione e il dominio deve collassare tutto tra questi, ma questa affermazione deve far ricorso a nozioni intuitive non definibili logicamente comunque.
Al secondo ordine si presuppone che la variabile di proprietà varia anche su cose del genere, ma se lo volessi comunicare o dirlo che deve variare su cose del genere non potrei farlo comunque con affermazioni finite, devo ricorrere ai puntini e cose simili, o ricorrere a definizioni circolari che tirano in ballo i numeri.
Come si dimostra al secondo ordine che la teoria è categorica senza presupporre l'esistenza della proprietà o insieme di prima?
Presupporre l'esistenza di una cosa del genere non si riesce a "dire" in qualche modo, per questo secondo me resta indefinibile in termini linguistici stringenti comunque anche se si riesce ad afferrare per altre vie.
Non ti seguo. Al primo ordine i numeri naturali non li puoi caratterizzare nel modo in cui vuoi fare te. Al secondo sono univocamente caratterizzati come l’unico modello degli assiomi di peano. Quello che stai assumendo implicitamente è che un tale modello esista, cioè che l’aritmetica sia consistente. È questo che ti turba?
"Gi.":
Non ti seguo. Al primo ordine i numeri naturali non li puoi caratterizzare nel modo in cui vuoi fare te. Al secondo sono univocamente caratterizzati come l’unico modello degli assiomi di peano. Quello che stai assumendo implicitamente è che un tale modello esista, cioè che l’aritmetica sia consistente. È questo che ti turba?
Al secondo ordine come fai a dimostrare che la teoria è categorica?
Cioè tutti i modelli sono isomorfi?
L'unica differenza dal primo ordine consiste nel domino di variazione della $P$ nell'assioma di induzione. Al primo ordine erano formule, al secondo ordine non si sa, si fa riferimento alla nozione di proprietà o insieme senza caratterizzarla in alcun modo.
Al secondo ordine bisogna presupporre al minimo che tra le $P$ ce n'è necessariamente una che è verificata solo $0$ e successori (finiti di questo) e nient'altro per dimostrare la categoricità, ma in qualsiasi modo cerchi di dire questa cosa devo dirla magari così come l'ho detta adesso e non è una vera e propria definizione o caratterizzazione di questo dominio di variazione. E' un qualcosa che rimanda a nozioni intuitive.
Il dominio di variazione resta qualcosa di vago e molti suoi oggetti devono essere afferrati direttamente senza definizioni o caratterizzazioni per far funzionare dimostrazioni del genere.
Si tutti i modelli sono isomorfi. Continuo a non seguirti. Per esibire un modello degli assiomi di peano e dimostrare che è unico a meno di isomorfismo ti serve un modello di una teoria degli insiemi in cui lavorare.
"Gi.":
Si tutti i modelli sono isomorfi. Continuo a non seguirti. Per esibire un modello degli assiomi di peano e dimostrare che è unico a meno di isomorfismo ti serve un modello di una teoria degli insiemi in cui lavorare.
Ma la teoria degli insiemi in cui lavorare rimanda ad una nozione intuitiva di cos'è un insieme o deve caratterizzare questa cosa tramite assiomi che non fanno entrare di soppiatto domini di variazione come quello che viene usato al secondo ordine?
Poi un'altra domanda, se la teoria al secondo ordine è categorica, è vero che in ogni modello nel dominio ci sono solo $0$ e successori di $0$ e nient'altro?
Si ripresenta il problema se per dimostrare questa cosa (la categoricità) si usa una teoria degli insiemi che non rimanda a nozioni vaghe e libere di proprietà.
Riesci magari anche a dimostrare che è categorica la teoria, ma magari tutti i modelli isomorfi sono fatti comunque diversamente da quello che ci aspettiamo (non ci sono necessariamente solo $0$ e successori e nient'altro nei modelli, ma potrebbero esserci anche altre cose).
Io parlo di questa cosa qua, bisogna eliminare questi modelli dove ci sono anche altre cose oltre ai successori di $0$, si può fare senza presupporre che l'abbiamo già caratterizzata in senso intuitivo questa cosa qua?
Te la dico in modo diverso, perché continuo a non capirti. Una volta esibito un modello degli assiomi di Peano in Set, dimostri che è un NNO (vedi il link di killingbuddha), e per fare questo usi il principio di induzione, e poi il fatto che sia un NNO lo caratterizza univocamente a meno di isomorfismo perché soddisfa una prop. universale. Alla fine l’esistenza dei numeri naturali è un assioma. Una volta che li hai, dimostri che sono un NNO per induzione, e sai che un NNO è unico a meno di isomorfismo.
"Gi.":
Te la dico in modo diverso, perché continuo a non capirti. Una volta esibito un modello degli assiomi di Peano in Set, dimostri che è un NNO (vedi il link di killingbuddha), e per fare questo usi il principio di induzione, e poi il fatto che sia un NNO lo caratterizza univocamente a meno di isomorfismo perché soddisfa una prop. universale. Alla fine l’esistenza dei numeri naturali è un assioma. Una volta che li hai, dimostri che sono un NNO per induzione, e sai che un NNO è unico a meno di isomorfismo.
Nei modelli ci sono i referenti della costante e termini
$0$
$s(0)$
$s(s(0))$
...
Ci sono i referenti soltanto di questi nel dominio di un qualsiasi modello una volta che si è dimostrata la categoricità?
Questa cosa dipende da che teoria degli insiemi si è usata per dimostrare questa cosa, se ne hai usata una al primo ordine non si può escludere che ci possono essere anche altre cose anche se hai dimostrato che i modelli sono isomorfi nella teoria.
I modelli dove ci sono “altre cose oltre i successori di zero” sono i modelli non-standard dell’aritmetica, in cui hai anche numeri “infiniti”, maggiori di qualsiasi numeri naturale. Questi modelli si possono costruire, sfruttando la compattezza, per la teoria dell’aritmetica al primo ordine, in cui hai una forma più debole del principio di induzione. Al secondo ordine, essendo il modello unico, ed essendo i numeri naturali un modello, è chiaro che dentro non possa esserci altro che “i successori di zero”.
"Gi.":
I modelli dove ci sono “altre cose oltre i successori di zero” sono i modelli non-standard dell’aritmetica, in cui hai anche numeri “infiniti”, maggiori di qualsiasi numeri naturale. Questi modelli si possono costruire, sfruttando la compattezza, per la teoria dell’aritmetica al primo ordine, in cui hai una forma più debole del principio di induzione. Al secondo ordine, essendo il modello unico, ed essendo i numeri naturali un modello, è chiaro che dentro non possa esserci altro che “i successori di zero”.
Ma al secondo ordine quando si usa la nozione di insieme per dimostrare che la teoria è categorica, si fa riferimento ad una teoria del primo ordine o no? In caso negativo continuo a ripetere che si è messo in mezzo un campo di variazione vago che presuppone già l'esistenza di cose di cui poi si dimostra l'esistenza e la cosa diventa circolare.
Il secondo ordine come va interpretato visto che anche qua si fa ampio uso della nozione di insieme per fare le dimostrazioni?
Adesso la variabile non varia più su proprietà linguistiche ma su insiemi, bene ci troviamo di nuovo al punto di partenza.
Questa nozione se la caratterizziamo assiomaticamente in modo chiaro ripiombiamo di nuovo nei modelli non standard.
Il modello della teoria dei numeri naturali è unico, ma è necessariamente standard o no?
Dentro ci sono solo $0$ e successori? Dove lo abbiamo mai mostrato questo? Ci può essere un isomorfismo anche tra strutture diverse da questa, sono tutte non standard quelle esistenti (nel senso che c'è anche altro dentro ogni dominio) ma sono tutte isomorfe. Questa possibilità qua dov'è che l'abbiamo esclusa?
Se è tutta la teoria degli insiemi contenitore che possiede modelli non standard la cosa si ripercuote su tutto quello che c'è dentro, teoria del secondo ordine e via dicendo.
Se non si fa riferimento ad una nozione intuitiva di insieme ed in una certa misura indefinibile i modelli non standard non li si riesce ad eliminare.
La categoricità non assicura che nel modello ci sono solo $0$ e successori di $0$, questa cosa dipende da che insiemi intuitivamente si riesce a caratterizzare con nozioni extralogiche.
Set è un modello di ZFC che è una teoria al primo ordine che ha un assioma che ti permette di costruire all’interno di un suo modello i numeri naturali. Per dimostrare che sono un NNO usi il principio di induzione, cioè usi una loro proprietà formulata al secondo ordine.
"Gi.":
Set è un modello di ZFC che è una teoria al primo ordine che ha un assioma che ti permette di costruire all’interno di un suo modello i numeri naturali. Per dimostrare che sono un NNO usi il principio di induzione, cioè usi una loro proprietà formulata al secondo ordine.
Ma il secondo ordine in cosa si differenzia dal primo?
Passare al secondo ordine significa che immergo comunque la teoria di formule dei numeri naturali nella teoria degli insiemi del primo ordine ed interpreto il dominio di variazione della variabile di proprietà del principio di induzione tra certi insiemi definibili al primo ordine... O faccio qualcosa di completamente diverso?
Se una dimostrazione è replicabile all'interno di una teoria degli insiemi del primo ordine (Dove replico la definizione degli insiemi di formule, interpretazioni, modelli), può essere che le strutture che vengono fuori sono comunque non standard anche se mi è sembrato erroneamente di aver dimostrato l'esistenza di altro.
Che non ci sono davvero modelli non standard (e per non standard intendo un modello dove c'è altro oltre a $0$ e successori) non dipende dalla dimostrazione di categoricità (se è vero che in linea di principio è replicabile al primo ordine), ma da come si interpreta il dominio di variazione di una certa variabile che a me sembra sia qualcosa di extralogico.
Se al secondo ordine si passa a qualcosa di vago e più informale è possibile anche secondo me eliminare i modelli non standard presupponendo l'esistenza di certi insiemi in modo intuitivo senza riuscire a definirla, altrimenti non vedo in base a cosa si crede di essere riusciti a fare una cosa del genere.
Se sei d’accordo sul fatto che i numeri naturali sono un modello degli assiomi di peano con il principio di induzione,ti ho già spiegato che ogni altro modello è isomorfo a questi, quindi non avrà altro al suo interno. Non so essere più chiaro di così. Se passasse di qui un logico magari ti saprebbe dire le cose meglio,per me onestamente non è neanche facile decifrare quello che intendi.
"Gi.":
Se sei d’accordo sul fatto che i numeri naturali sono un modello degli assiomi di peano con il principio di induzione,ti ho già spiegato che ogni altro modello è isomorfo a questi, quindi non avrà altro al suo interno. Non so essere più chiaro di così. Se passasse di qui un logico magari ti saprebbe dire le cose meglio,per me onestamente non è neanche facile decifrare quello che intendi.
Io ho chiesto all'inizio come si fa a costringere nei modelli solo $0$ e successori?
I numeri naturali sono comunque definiti all'interno della teoria degli insiemi al primo ordine e se in questa teoria non si riesce ad escludere che ci sono discese infinite in questo insieme, anche tutti i modelli isomorfi della teoria dei numeri formulata al secondo ordine (ma qua intesa in senso debole come immersione nella teoria degli insiemi del primo ordine di formule, interpretazioni e modelli, e non come nuovo campo di variazione intuitivo e vago) potrebbero avercela questa discesa.
L'accordo sul fatto che risulta dimostrabile che i modelli sono isomorfi alla struttura dei naturali per immersione in una teoria del primo ordine risulta irrilevante. Questa struttura com'è fatta? Come si è riusciti ad incastrarla? Le discese infinite nell'insieme dei naturali con le ipotesi in gioco le abbiamo eliminate? Perché?
Bisogna formulare anche la teoria degli insiemi contenitore al secondo ordine in senso forte e non tramite un'immersione (dove in senso intuitivo si presuppone l'esistenza di una proprietà verificata solo da $0$, $s(0)$, $s(s(0))$... e nient'altro, tramite la quale sarebbe possibile estrarre proprio questo insieme da un altro insieme $X$ che li contiene - di cui si può postulare l'esistenza tranquillamente - tramite l'assioma di separazione interpretato al secondo ordine in senso forte) per eliminare davvero il problema di cui ho parlato all'inizio. Dobbiamo assumere a qualche livello che questa proprietà qua è esprimibile in ogni caso e che esiste, dato che al primo ordine potrebbe non essere esprimibile in ogni interpretazione tramite le formule con una variabile libera.
Che abbiamo dimostrato che una struttura è isomorfa ai naturali non implica da sola che nei naturali non si possano annidare altre cose oltre a $0$ e successori di $0$, che propagheranno questo difetto anche alle strutture che si è riusciti a dimostrare isomorfe.
Se non abbiamo assunto noi a monte a qualche livello che nell'insieme dei naturali non si annidano altre cose oltre a $0$ e successori di $0$ o che esistono insiemi del genere, non credo si possa eliminare il difetto, il succo del mio discorso è questo.
Se esiste soddisfa gli assiomi, sì ma che esiste dove lo abbiamo detto? Si può dire in qualche modo correttamente e senza ambiguità questa cosa?
La definizione per minimo rispetto all'inclusione in una qualsiasi teoria degli insiemi formulata al primo ordine rappresenta una definizione esprimibile, ma questa definizione non è detto che intercetti proprio questo insieme qua che abbiamo in mente in senso intuitivo.
Pare che per definirlo sicuramente nella teoria bisogna presupporre che c'è senza definizione, per definirlo bisogna circolarmente presupporre che c'è già ad un altro livello senza alcuna definizione o caratterizzazione, per questo pensavo fosse indefinibile. E possibile asserire che esistono insiemi che contengono $0$ e successori, ma non è definibile quello che contiene soltanto i successori di $0$, se si volessero formalizzare bene le definizioni informali che usiamo a parole per riferirci alla proprietà essere un successore di $0$, con i puntini ecc. ecc. diventano tutte circolari.
Dovremmo poter dire "c'è necessariamente una proprietà di questo tipo", ma non si riesce a formulare un principio finito che riesca a caratterizzare questa cosa qua, per questo secondo me, tornando al discorso di partenza, si può solo afferrare in senso intuitivo.
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