Problema polinomi in Q[X]
Ciao a tutti... sono nuovo del forum... vorrei farvi vedere un esercizio sui polinomi dato che non trovo una soluzione.
trovare (se esistono) due polinomi a(x) e b(x) € Q[x] tali che
(4-3x^2+x^3)a(x)+(2+3x+x^2)b(x)=16x+16
ora non saprei dove mettere mano..
io ho cercato tramite ruffini di trovarmi due polinomi di grado inferiore di poter risolvere questa ugualianza ma non è stato cosi.
trovare (se esistono) due polinomi a(x) e b(x) € Q[x] tali che
(4-3x^2+x^3)a(x)+(2+3x+x^2)b(x)=16x+16
ora non saprei dove mettere mano..
io ho cercato tramite ruffini di trovarmi due polinomi di grado inferiore di poter risolvere questa ugualianza ma non è stato cosi.
Risposte
$16x+16$ ha tanto l'aria di essere l'$MCD$ tra i due polinomi. Quindi $a(x),b(x)$, coefficienti di Bezout, possono essere trovati tramite l'algoritmo euclideo delle divisioni successive.
sono daccordo ma di norma quali sono i procedimenti da effettuare per verificare se esistono o meno questi polinomi?
ad ora ho capito:
1. va eseguito il MCD dei due polinomi
2. ricavata l'identità di Bezout.
3. ......
e cosa metto in a(x) e b(x).
ad ora ho capito:
1. va eseguito il MCD dei due polinomi
2. ricavata l'identità di Bezout.
3. ......
e cosa metto in a(x) e b(x).
Ma quella è l'identità di Bezout.
Se hai due polinomi $f,g in QQ[x]$ e detto $d$ il loro massimo comun divisore, allora esistono due polinomi $a,b in QQ[x]$ tali che $fa+gb=d$
Per avere anche idea di come determinarle guarda qui nelle prime pagine.
Se hai due polinomi $f,g in QQ[x]$ e detto $d$ il loro massimo comun divisore, allora esistono due polinomi $a,b in QQ[x]$ tali che $fa+gb=d$
Per avere anche idea di come determinarle guarda qui nelle prime pagine.
per ora ti ringrazio domani con il cervello riposato faccio ordine.... ma credo di aver capito.
allora sono riuscito ad eseguire il MCD e a trovare questi due a(x) e b(x) e trovo l'ugualianza ora pero dato che la domanda è
trovare (se esistono) due polinomi a(x) e b(x) €Q[x] tali che (4-3x^2+x^3)a(x)+(2+3x+x^2)b(x) = 16x+16
ora ho trovato a(x) = 1 e b(x) = -x+6 ma questi non sono due polinomi appartenenti ad Q[x]. sbaglio o dovrebbero essere polinomi composti da frazioni?
trovare (se esistono) due polinomi a(x) e b(x) €Q[x] tali che (4-3x^2+x^3)a(x)+(2+3x+x^2)b(x) = 16x+16
ora ho trovato a(x) = 1 e b(x) = -x+6 ma questi non sono due polinomi appartenenti ad Q[x]. sbaglio o dovrebbero essere polinomi composti da frazioni?
I numeri interi sono numeri razionali.
Informalmente,
$4$
$-3$
$0$
sono tutte frazioni (con denominatore $1$)
Informalmente,
$4$
$-3$
$0$
sono tutte frazioni (con denominatore $1$)
non ho capito cosa vuoi intendere..
ma il risultato che mi è vuenuto quindi non fa parte di Q[x]
non riesco a capire chi sono questi Q[x].
ma il risultato che mi è vuenuto quindi non fa parte di Q[x]
non riesco a capire chi sono questi Q[x].
Permettimi una critica: cerca di capire cos'è $QQ[x]$ prima di iniziare a fare degli esercizi dove se ne parla.
$QQ[x]$ è l'anello dei polinomi a coefficienti in $QQ$. E che cos'è $QQ$? E' il campo dei numeri razionali.
Senza andare troppo sul difficile, possiamo dire che $QQ$ è l'insieme di tutte le frazioni.
Quindi ad esempio $1/2 in QQ$, $-3/5 in QQ$, $10/7 in QQ$, e anche $1 in QQ$, $-3 in QQ$, $0 in QQ$. Ok?
Tornando al tuo esercizio, abbiamo $a(x)=1$ e $b(x)=-x+6$. Sicuramente $a(x), b(x) in QQ[x]$.
$QQ[x]$ è l'anello dei polinomi a coefficienti in $QQ$. E che cos'è $QQ$? E' il campo dei numeri razionali.
Senza andare troppo sul difficile, possiamo dire che $QQ$ è l'insieme di tutte le frazioni.
Quindi ad esempio $1/2 in QQ$, $-3/5 in QQ$, $10/7 in QQ$, e anche $1 in QQ$, $-3 in QQ$, $0 in QQ$. Ok?
Tornando al tuo esercizio, abbiamo $a(x)=1$ e $b(x)=-x+6$. Sicuramente $a(x), b(x) in QQ[x]$.
la critica è bene accetta sto cercando di capire bene... e per bene intendo le differenze tra i vari anelli ma la mia perplessità rimane in quanto sia le lezioni che ho seguito e le informazioni ricavate da internet le quali vanno prese con le pinze mancano di esempi.... protici e semplici ma che rafforzano le mille e più definizioni.
ora so che 1€N e a Z e se non ho capito male a Q in qunto 1 si può scrivere come 1/1 mentre -x= -x/1 e +6= 6/1 dato che sono tutti valori compresi nell'insieme di Q giusto?
ora so che 1€N e a Z e se non ho capito male a Q in qunto 1 si può scrivere come 1/1 mentre -x= -x/1 e +6= 6/1 dato che sono tutti valori compresi nell'insieme di Q giusto?
Quasi: $-x notin QQ$, piuttosto $-x in QQ[x]$
Come ho scritto prima,
$QQ$ è l'insieme dei numeri razionali; quindi gli elementi di $QQ$ sono dei numeri.
$QQ[x]$ è l'anello dei polinomi a coefficienti in $QQ$; quindi gli elementi di di $QQ[x]$ sono dei polinomi. Ok?
$-x+6 in QQ[x]$
$4-3x^2+x^3 in QQ[x]$
Domanda: ci sono dei numeri che non appartengono a $QQ$?
Risposta: Certamente, ad esempio $sqrt2 notinQQ$, oppure $pi notinQQ$. (dove $pi=3.14...$)
N.B: Per scrivere in modo più leggibile le formule basta scriverle tra due simboli di dollaro \$
Come ho scritto prima,
$QQ$ è l'insieme dei numeri razionali; quindi gli elementi di $QQ$ sono dei numeri.
$QQ[x]$ è l'anello dei polinomi a coefficienti in $QQ$; quindi gli elementi di di $QQ[x]$ sono dei polinomi. Ok?
$-x+6 in QQ[x]$
$4-3x^2+x^3 in QQ[x]$
Domanda: ci sono dei numeri che non appartengono a $QQ$?
Risposta: Certamente, ad esempio $sqrt2 notinQQ$, oppure $pi notinQQ$. (dove $pi=3.14...$)
N.B: Per scrivere in modo più leggibile le formule basta scriverle tra due simboli di dollaro \$
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