Problema isomorfismo tra gruppi
Che vuol dire trovare un gruppo a meno di un isomorfismo? Poi c'è un teorema che mi risolve la seguente questione: "fissato un intero n > 0, possiamo considerare un gruppo con n elementi: ma quanti ce ne sono a meno di un isomorfismo"? Grazie in anticipo.
Risposte
Secondo me dipende dalla struttura del gruppo. Ad esempio se il gruppo è ciclico di ordine $p$ primo, allora ne esiste uno solo (per il teorema di classificazione dei gruppi ciclici finiti) e cioè $ZZ_p$
Vuol dire che esistono dei gruppi "modello" ai quali potersi ricondurre. Ricondursi mediante isomorfismo ad un gruppo modello (già studiato) equivale a sapere tutto del gruppo considerato, in quanto l'isomorfismo "copia" le proprietà.
Considera che un gruppo è un insieme (quindi dentro ci potresti mettere tutto quello che vuoi). Quindi potresti definire un gruppo con l'identita, la sedia, il tavolo e lo sgabello. Imponi che sia abeliano e che sedia*tavolo=sgabello, sgabello*sedia=tavolo, tavolo*sgabello=sedia e che ognuno di loro sia inverso di loro stessi.
Abbiamo un gruppo. E alla fine scopri che questo gruppo è isomorfo a $ZZ_2 \times ZZ_2$.
Non so se sono riuscito a spiegarmi però
Quanto al tuo secondo quesito credo che la risposta non sia affatto semplice. Per i gruppi abeliani è molto semplice, per quelli non abeliano è decisamente difficile invece.
Considera che un gruppo è un insieme (quindi dentro ci potresti mettere tutto quello che vuoi). Quindi potresti definire un gruppo con l'identita, la sedia, il tavolo e lo sgabello. Imponi che sia abeliano e che sedia*tavolo=sgabello, sgabello*sedia=tavolo, tavolo*sgabello=sedia e che ognuno di loro sia inverso di loro stessi.
Abbiamo un gruppo. E alla fine scopri che questo gruppo è isomorfo a $ZZ_2 \times ZZ_2$.
Non so se sono riuscito a spiegarmi però
Quanto al tuo secondo quesito credo che la risposta non sia affatto semplice. Per i gruppi abeliani è molto semplice, per quelli non abeliano è decisamente difficile invece.
Grazie
Ma quindi alla mia domanda si può rispondere per gruppi ciclici, abeliani e gruppi semplici finiti?
Il tuo è un problema di classificazione di cui francamente non so molto.
Per i gruppi abeliani c'è un teorema molto potente che permette di classificarli in maniera abbastanza agevole.
Per i gruppi finiti io conosco classificazione fino all'ordine $15$, oltre conosco solo casi vari. Ma considera che non è un problema facile questo.
Esistono alcuni teoremi che ti aiutano in questo (ad esempio se l'ordine è primo allora il gruppo è ciclico, se l'ordine è $p^2$ allora $G$ è abeliano - e quindi in base al teorema che ti ho accennato prima possiamo dire quanti sono-) ma non credo esista un criterio "meccanico" per stabilirlo.
Ma spero che qualcuno che ne sa più di me passi di qui per aggiungere qualcosa, che anche io sono curioso!
Per i gruppi abeliani c'è un teorema molto potente che permette di classificarli in maniera abbastanza agevole.
Per i gruppi finiti io conosco classificazione fino all'ordine $15$, oltre conosco solo casi vari. Ma considera che non è un problema facile questo.
Esistono alcuni teoremi che ti aiutano in questo (ad esempio se l'ordine è primo allora il gruppo è ciclico, se l'ordine è $p^2$ allora $G$ è abeliano - e quindi in base al teorema che ti ho accennato prima possiamo dire quanti sono-) ma non credo esista un criterio "meccanico" per stabilirlo.
Ma spero che qualcuno che ne sa più di me passi di qui per aggiungere qualcosa, che anche io sono curioso!
Grazie.
Sono d'accordo con mistake, tutto dipende dalla struttura del gruppo con cui stiamo lavorando
Il problema non è facile né risolto. In media gli ordini con più gruppi sono le potenze di primi. Uno si potrebbe chiedere quali sono quei numeri [tex]n[/tex] per cui esiste un solo gruppo di ordine [tex]n[/tex]. Si tratta degli interi [tex]n[/tex] tali che [tex](n,\varphi(n))=1[/tex]. Poi uno potrebbe chiedersi quali siano i numeri con una data proprietà P (dove diciamo che un numero ha la proprietà P se ogni gruppo di quell'ordine ha la proprietà P). Per esempio quali sono i numeri ciclici? Quelli di cui ho parlato qui sopra. Quelli abeliani? Non so, ci devo pensare. Quelli risolubili? Il teorema di Burnside dice che se un numero è diviso da al più due primi allora è risolubile. I numeri semplici sono esattamente i numeri primi e 1. Eccetera 
Avevo visto una volta un articolo che caratterizzava i numeri nilpotenti. Se lo trovo ve lo segnalo.
Avevo visto una volta un articolo che caratterizzava i numeri nilpotenti. Se lo trovo ve lo segnalo.
Interessantissima questa cosa Martino.
Il tuo commento in questa sezione è sempre molto atteso...
Il mio interesse per la teoria dei gruppi e' molto elevato, e questa cosa degli ordini mi ha sempre affascinato. Alcuni gruppisti hanno proprio questo come campo principale di ricerca. ecco l'articolo di cui parlavo. Dice che [tex]p_1^{a_1}...p_n^{a_n}[/tex] è nilpotente se e solo se [tex]p_i^k \not \equiv 1 \mod(p_j)[/tex] per ogni [tex]i,j[/tex] e [tex]1 \leq k \leq a_i[/tex].
ecco l'articolo di cui parlavo. Dice che [tex]p_1^{a_1}...p_n^{a_n}[/tex] è nilpotente se e solo se [tex]p_i^k \not \equiv 1 \mod(p_j)[/tex] per ogni [tex]i,j[/tex] e [tex]1 \leq k \leq a_i[/tex].
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