Problema identità anello

[gabry451]

Stavo provando a fare un esercizio sugli anelli.

Sia X un insieme non vuoto e sia R il campo dei numeri reali. Nell' insieme $ R^{X}= {f|f:Xrarr R $ è un applicazione }

si definiscano addizione e moltiplicazione ponendo per ogni f,g € $ R^{X} $ e per ogni x € X

$ (f+g)(x)=f(x) + g(x)
(fg)(x)=f(x)g(x) $

Si provi che è un anello commutativo con identità.

Che è un anello commutativo lo ho provato. Il problema è che non riesco a calcolare l' identità. Qualcuno mi mostra come fare?

[Paolo902]

Be', prova un po' a considerare la funzione $f: X to RR$ definita da $f(x)=1$...

[gabry451]

i(x)=1 se non erro. Però non ho capito il perchè. Mi potresti spiegare? >_>

[Paolo902]

Ah, be' aspetta, ho capito che cosa vuoi dire: che ci sia l'elemento neutro rispetto alla somma l'hai assodato (è un gruppo abeliano rispetto alla somma!), mentre invece devi far vedere che esiste un elemento neutro rispetto al prodotto: devi trovare una funzione $f(x)$ tale che $f(x)*g(x)=g(x)*f(x)=g(x)$ per ogni altra funzione $g(x)$.

Da cui evidentemente $f(x)=1$.

[gabry451]

OK ora sono riuscito a capire Non arrivavo al ragionamento. Comunque si era il semigruppo da verificare per l' identità

[gabry451]

Comunque nel caso non vi fosse comutatività non ci sarebbe neanche l' identità in questo caso?

[Paolo902]

"gabry45":Comunque nel caso non vi fosse comutatività non ci sarebbe neanche l' identità in questo caso?

Commutatività rispetto a che operazione?

Comunque l'identità ci sarebbe sempre.

[gabry451]

Rispetto al *

[Paolo902]

Be', sì esistono anelli non commutativi unitari (=l'anello delle matrici a coefficienti in un campo).

Bada però che richiedere $x*u=u*x=x$ per ogni $x in A$ NON è la proprietà commutativa ma è la definizione di elemento neutro (nel caso ti stessi riferendo a questa cosa).

[gabry451]

Si ho fatto un po di confusione :/